【2023】京都大学文系・理系数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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【2023】京都大学文系・理系数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

京都大学入試の数学で悩んでいる人へ

 京都大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、京都大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、京都大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

京都大学入試における数学の重要性

 京都大学二次試験の数学の配点は、法学部、経済学部が150/550。総合人間学部文系が200/650。文学部が100/500。教育学部文系が150/650です。
 数学という科目の特殊性として、たとえば、京都大学文系数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、まず無理といえます。
 このあたりからも、数学の出来不出来の波をなるべく小さくすることが、安定して合格点を取るために、非常に大切であることがわかると思います。

 

京都大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 京都大学文系数学は、大問ごとの難易度の差が激しいことが多いです。特に、京都大学文系の場合、びっくりするほど簡単な問題を出すことがあります。一方で、京都大学らしい、個性的な難しい問題も出ます、
 解けなそうな問題を見た時に、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2023年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査しています。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
「サイコロをn回投げた時の積が5で割り切れる確率」という超有名問題です。5の倍数ということは「少なくとも5が1回出る」ということです。「少なくとも」という文言を見たら、余事象を取りますね。
難易度Aの問題は、他の上位国立大学ではなかなか出ませんが、京大は結構出るので気をつけましょう。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
3乗根を含む分数の分母を有理化する問題です。以外に難しいので、できなかった人が多かったでしょう。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
京大でおなじみの四面体とベクトルの問題です。
Focus Goldに載っている、1次独立→係数比較、または、平面◯△▢上にあるから係数を足して1といった技法で求まります。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。

(1)
cos2θをcosθの式で表すのは、倍角の公式そのものです。
cos3θをcosθの式で表すのは、3倍角の公式の証明は、数研出版の教科書には問題として載っています。したがって正解できます。

(2)
「半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さが1.15より大きいか否かを理由を付けて判定せよ」という問題です。
東大理Ⅲ御用達の『入試数学の掌握』(エール出版社)という本があります。この本の<鉄則>に「内接多角形の辺長を表すときは、外接円の半径をR、中心角を2θと置いて、正弦定理を使う。余弦定理だと根号の処理に困る。」といった旨が書いてあります。そんな感じで証明できますが、本書は、並の京大文系受験生にはオーバーワークで、あまり読んでないでしょう。予備校などで教わっていれば証明できるか、というところかと思います。
以前、東大で、円周率が3.05より大きいことの証明が出題されましたが、本問はそれを彷彿させますね。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数列{an}の一般項を求める問題で、和Sn、an、nを含む類型です。
基本形はFocus Goldあたりには載っていて、同じように漸化式を立てれば解けます。
その漸化式が、少しだけ複雑ですが、階差数列に持ち込んだあと、(等差数列)×(等比数列)型の和という、教科書レベルの組み合わせで解けます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
見た目複雑ですが、見た目からもわかるように、数Ⅱの教科書の積分に載っている「定積分は定数と置け」を使い、同じ方針でゴリゴリ計算すれば解けます。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 京都大学文系の数学は、大問5問、試験時間120分。微分積分、確率、整数、ベクトル(特に四面体)がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。合否を分ける基本的な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。2023年の大問1(1)は簡単すぎましたが、理系は、ほぼ同じ問題が出題されています。あとは、一橋大学の過去問が似ていることが多いので対策に使えます。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 微分積分は取り組みやすいことが多いです。ただ、やはり、文字aなどを含み、場合分けをする、といったことを求められることが多いです。Focus Goldの技法を完璧にし、『文系数学良問のプラチカ』をで対策をしたいです。

 かなり出題傾向にクセがあるので、過去問集である『京大の文系数学27カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

  京都大学文系数学は、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2023年も大問1(1)、大問3(1)などはそうです。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 その他の問題も、大問1(2)、大問3(2)以外は、教科書を理解し、チャート式やFocus Goldなどで受験によく出る技法をマスターしていれば、見た目から、それらを使いこなせれば解ける問題であろうとわかりそうで、実際解けます。他の受験生に大きく差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 夏と秋の河合塾さんと駿台さんの京大模試は受けたほうがいいでしょう。

 

京都大学文系数学オススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの京都大学に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、京大レベルの成績になっているはずです。

 京大文系入試対策としては『合格る確率』、整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、『京大の数学27カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。『京大の文系数学27カ年』の前に『世界一わかりやすい京大文系数学』(KADOKAWA)をはさむと、解説が分かりやすく、着眼点なども書いてあるので、いいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『世界一わかりやすい京大文系数学』、『京大の文系数学27カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような考え方で解ける問題が出るかもしれません。

 

 

2023年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
月刊『大学への数学』誌の難易度はA。
定積分の計算をするだけの問題です。
そのまま部分積分をしても行けます。教科書通り、面倒くさそうな部分を置換してから部分積分をしてもいいでしょう。
難易度Aの問題は、他の上位国立大学ではなかなか出ませんが、京大は結構出るので気をつけましょう。

(2)
月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
整式の割り算の余りを求める問題です。
ただ、教科書、チャート式、Focus Goldあたりの整式の割り算に載っているようなやり方では、うまくいきません。
一方、むしろ、複素数平面の分野でxn-1の因数分解は頻出で、チャート式、Focus Goldあたりには載っていますから、それを使おうと思えば、そう難しくなく解けると思います。

 

大問2

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
京大で頻出の空間ベクトル、四面体の問題です。
空間の2ベクトルが交点を持つ話はFocus Goldあたりには載っており、それよりは、少しだけ式が複雑になりますが、方針としては、全く同じようにやれば解けます。

 

大問3

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
文系大問1(1)と同じ問題なので省略します。

(2)
サイコロをn回投げて積が15の倍数になる確率です。
確率の分野は、チャート式やFocus Goldあたりは弱いので、大学受験塾チーム番町では、『合格る確率』(文英堂)を使用していますが、ほぼ同じように得問題が載っているので、解けます。

 

大問4

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の微分の最大最小の問題です。

そういえば、数3の微分では余り使わないような気がしますが、数2の三角、指数、対数関数あたりの最大最小では、=tと置き換える問題は普通で、本問も、明らかに同じ式が2つありますから、=tと置けば、あとは、数3の微分の標準的な最大最小の問題に帰着され、解けます。

 

大問5

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。
結局は、数3の積分の回転体の体積の問題です。
結局は回転体で考えるのだから、点QはZ軸上に設定すればいいのですが、まず、問題文から図形を把握した時に、そう思えるかが難しいと思います。
後半の積分の回転体の体積については、Focus Goldが非常に充実しており、あのあたりの問題をマスターしていれば、なんとか求まると思いますが、ここでも、通過範囲を確定させるのにひとひねりありますし、先述のように、そこに持ち込むのも大変かなと思います。

 

大問6

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。

(1)
cos3θとcos4θをcosθで表す問題です。
文系大問3(1)で似たような問題が出ています。
3θは、理系なら積分で使いますし、数2の教科書の加法定理のところでも、問題として載っています。4θは2θの倍角なのでcosだけで表せることはすぐわかり、解けます。

(2)
まあ、存在、不存在を示すので、背理法でやってみたくなるのは教科書レベルです。
あとは、(1)とその前の2倍角から規則性を見つけて、帰納法でやってくれということだと思いますが、ちょっと思いつかないと思います。このあたりまで書いて、部分点狙いで十分なのではないでしょうか。

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 京都大学理系の数学は、大問6問、試験時間150分。微分積分、確率、整数、ベクトル(特に四面体)がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。合否を分ける基本的な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。2023年の大問3は、ほぼ同じ問題が収録されています。あとは、一橋大学の過去問が似ていることが多いので対策に使えます。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 数3の微分積分の基本技法はFocus Goldがかなり優れています。あとは、それを使いこなせるよう、入試問題演習をすればいいと思います。

 かなり出題傾向にクセがあるので、過去問集である『京大の理系数学27カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 京都大学理系数学でも、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2023年も大問1(1)などはそうです。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 その他の問題も、大問2、4、6(1)は、教科書を理解し、チャート式やFocus Goldなどで受験によく出る技法をマスターしていれば、見た目から、それらを使いこなせれば解ける問題であろうとわかりそうで、実際解けます。他の受験生に大きく差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 夏と秋の河合塾さんと駿台さんの京大模試は受けたほうがいいでしょう。

 

京都大学文系数学オススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの京都大学に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、京大レベルの成績になっているはずです。

 京大文系入試対策としては『合格る確率』、整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、『京大の理系数学27カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。『京大の理系数学27カ年』の前に『世界一わかりやすい京大理系数学』(KADOKAWA)をはさむと、解説が分かりやすく、着眼点なども書いてあるので、いいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『世界一わかりやすい京大理系数学』、『京大の数学27カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような考え方で解ける問題が出るかもしれません。

 

 

2021年京都大学文系数学 :難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。

10進法の6.75を2進法で表す。その答と2進法の小数のかけ算。さらに、その答を4進法で表すという、全体として教科書レベルの問題なので、正解できます。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
三角形の2辺の長さと挟む角が与えられ、垂心のベクトルを求めるという、チャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには、数値が違うだけの問題が載っていそうな問題なので、解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
絶対値つきの定積分の問題です。教科書レベルと言え、正解できます。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
確率の問題です。
いわゆる確率漸化式に帰着できれば見通しがいいですが、意外に、難しいかもしれません。
他の問題や、試験時間との兼ね合いから、手つかずでも合格点でしょう。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
座標空間上の直方体の切断面の平行四辺形の面積を求める問題です。
教科書などのベクトルのところに、ベクトルを使った三角形の面積の式が載っていますが、平行四辺形の面積は三角形の2倍なので、それを使うと早そうです。
面積の最小値は二次関数の最小に帰着されます。
したがって完答できます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
「pが素数ならばp4+14は素数でないことを示せ」という整数問題です。
まあ、このような問題は、p=2,3,5とまずやってみるものです。
その後、合同式を使いこなせると、かなり簡単で、完答できます。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 京大文系数学は、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2021年もそのような問題が多かった印象です。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 このような年に対応するためには、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大丈夫です。
 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2021年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
空間座標上の平面に対し、対称な点を求める問題です。似たような問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っているので解けます。垂線の足が平面上にあるので、例の係数を足して1。内積0が2回使える。これで定まります。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
確率の問題です。色のついた玉を取り出す問題ですが、基本形にあるのは、チャート式やFocus Gold(啓林館)あたりに載っている「A、Bの2部屋に分けるが空室があってはならない」という問題です。玉の種類が4種類ですが、考え方は同じで、この程度の出題も、過去に他大であったので、解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
放物線の接点と接線のx切片の距離の最小値を求める問題です。素直に式を立ててゴリゴリ進めれば解けます。外見は数Ⅱチックですが、途中、数Ⅲの微分が必要になります。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
ただし、予備校さんによっては、やや難などとなっているようです。たしかに、後半はきついような気がします。
形から見て、極形式にすると見通しがいいのはいいでしょう。その極形式の実部の話なので、共役どうしを足して2で割ると実部、というFocus Goldあたりに載っている話を使ってもいいでしょう。途中までで合格点でしょう。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
曲線の長さの問題です。教科書どおりに曲線の長さを求めに行きますが、途中の積分が少しだけ難しい、といった程度なので、完答できます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。

(1)
三角形の外心の座標を求める問題です。
外心は各辺の垂直二等分線の交点であることを考えると、あっさり出ます。

(2)
三角形の垂心の軌跡を求める問題です。
『Focus Gold』などのベクトルのところには、垂心の問題が載っていて、同様に、内積0を使えば解けます。軌跡についても、チャート式や『Focus Gold』レベルのことをマスターすれば、本問もどのように解き進めればいいかはわかるでしょう。

 

大問6

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
素数が絡む整数の証明問題です。
問題文から、対偶あるいは背理法を使うのはいいでしょう。このような問題でn乗を見たら、2項展開するのは、わりとある話です。過程は色々ありそうですが、なんとか証明できるでしょう。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はD。
難しいので、手つかずでも合格点でしょう。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、少し入試標準問題に慣れれば、大問3後半、大問6(2)以外は完答でき、十分、他の受験生に差をつけることができたでしょう。
 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

問1
『大学への数学』4月号の難易度はA。
整式の割り算の問題です。
実際に割り算を実行してaの値を定めるだけです。
完答すべきです。

問2
『大学への数学』4月号の難易度はC。
対数で「何桁?」と「最高位の数字」は教科書やチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりには載っていますが、「最高位からの2桁の数字」というところに、ひとひねりあります。
「最高位の数字」の解き方を根本から理解していれば、完答できるでしょう。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はB。
2次関数の最小値の問題です。
絶対値がついているのはまだいいとして、文字がa、bと2文字あり、かなり抽象度が高い問題です。
大問1の問2の「最高位からの2桁の数字」もそうですが、典型問題からひとひねりするだけで、受験生が丸暗記ではなく根本から理解しているかを問える、合否を分けるレベルのいい問題になると思います。
場合分けは、3次関数に文字が入った問題を参考にすると「極値と区間の位置関係」ですが、「グラフとx軸との交点の位置関係」で場合分けしてもいいでしょう。
最小値のグラフを書く部分もこのあたりではありがちで、Focus Gold(啓林館)では節末問題に載っています。
完答すべきです。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
これもax2+bx+cとかなり抽象度が高い問題です。
まず2次の係数がaなので、aの0、正、負で場合分けするような問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
あとは、題意を把握できれば完答できるのではないでしょうか。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はC。
さいころをn回振って、1回だけ目が4以下から5以上に切り替わる確率の問題。
理系大問4と共通問題です。
本問を一段階簡単にしたような問題は入試標準問題集などにはよく載っていると思います。
本問は∑を2回使うような模範解答が見られますが、まあ、問題の状況を把握して丁寧にやっていけば完答も狙えると思います。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
半径1の球面上の5点がつくる、底面が正方形の四角錐の体積の最大値の問題。
理系大問5と共通問題です。

球で中心に注目する問題はFocus Gold(啓林館)の空間ベクトルのところに載っています。
完答すべきですし、図形問題として検討する価値が高いと思います。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 2019年の出題は、典型問題にひとひねり加えて、典型問題を丸暗記ではなく根本から理解しているかを問うような出題が目立ったと思います。
 特に、大問2,大問3は抽象度の高い話を適切に処理できるかが問われていました。
 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、それらを丸暗記ではなく根本から理解した上で、入試標準問題演習をすれば、時間が許せば、満点に近い点数も狙えたと思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

問1
『大学への数学』4月号の難易度はC。
cosθは有理数ではないがcos2θとcos3θがともに有理数となるようなθの値を求める問題。
京大らしい出題ですね。
ちょっと、教科書や学校採用教材などでは見ない類型の発想が必要で、「やや易」などとしている予備校さんもあるようですが、意外に出来は悪かったのではないでしょうか。
直感的にπ/6というのはわかっても、答案として論理的かどうか。
まあ、3θがあるので3倍角の公式を使ってみるものでしょう。
2θがあるので倍角の公式も使ってみるものでしょう。
その後、論理的に示せるかどうかでしょうか。

問2
『大学への数学』4月号の難易度はB。
定積分をするだけの問題です。

(1)
tanxの微分が1/cos2xなので、そこから部分積分に持ち込むのは気づきたいです。
その後のtanxの積分は数研出版の教科書には載っています。
積分は「この類型はこう積分する」というのをパッと見えるようにするトレーニングが大切です。
(2)
定積分ではなく、不定積分ですが、全く同じ関数の問題が数研出版の教科書には載っています。
また、大学受験塾チーム番町で「この類型はこう積分するというのをパッと見えるようにするトレーニング」に使っている、Focus Gold(啓林館)のコラム「ひと目で分かる不定積分」にも、全く同じ関数が載っています。
完答すべきです。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はB。
整数問題です。
整数問題を見たときになにを考えればいいか?という投稿の『「素数」という文言を見たら…』の欄にも書きましたが、偶数の素数は2のみです。
これが使えます。
その後、必要条件で絞り込んで、あとは力技で調べていく技法はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
完答すべきですし、検討する価値が高い整数問題でしょう。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、整数は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
「t:1-tに内分」といった文言から、ベクトルを使おうかな、とは思えるのではないでしょうか。

あとは、座標を設定して、教科書にも載っている媒介変数表示された図形の面積を求める方針でいけば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はC。
さいころをn回振って、1回だけ目が4以下から5以上に切り替わる確率の問題。
文系大問4と共通問題です。
本問を一段階簡単にしたような問題は入試標準問題集などにはよく載っていると思います。
本問は∑を2回使うような模範解答が見られますが、まあ、問題の状況を把握して丁寧にやっていけば完答も狙えると思います。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
半径1の球面上の5点がつくる、底面が正方形の四角錐の体積の最大値の問題。
文系大問5と共通問題です。

球で中心に注目する問題はFocus Gold(啓林館)の空間ベクトルのところに載っています。
完答すべきですし、図形問題として検討する価値が高いと思います。

 

大問6

『大学への数学』4月号の難易度はB。
複素数で常用対数表を使う問題。
n乗があるので極形式にするのはいいでしょう。
あとは、ためしに具体的にnに値を代入して調べてみて、答案では一般性のある議論をすれば解けると思います。
完答すべきです。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 大問1の問1だけは、ちょっと発想が必要だと思いますが、その他は、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、ほぼ解けると思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
共通接線の話は、『Focus Gold』(啓林館)あたりにはまず載っています。
計算は少し大変そうです。
理系の大問1も共通接線の問題でした。
完答すべきです。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
三角比、三角関数と微分の融合問題です。

(1)
QRを求めることと∠BAPを使うことから逆算して頑張れば解けると思います。
図形の入試標準問題に慣れておいたほうがいいでしょう。

(2)
(1)ができれば普通の微分の問題です。
完答すべきです。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
整数問題です。
理系の大問2と共通問題です。

具体的にn=1、2、3…とやってみて、あたりをつけるのが定石でしょう。
そうすれば方針が見えると思います。
完答すべきです。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、整数は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
四面体の問題。
理系大問6と共通問題です。

(1)
垂直を示す問題。
ベクトルでも初等幾何でもいいでしょう。
四面体の線分の垂直をベクトルで証明する問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりには載っています。

(2)
ちょっと思いつきにくいと思います。
合格には(1)ができればいいと思います。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
確率の問題。
Xnが最大と最小になる場合とそれからいくつかを具体的にやってみて、問題を把握すると、確率の入試標準レベルの問題になると思います。
完答も狙えるでしょう。
大問3でも述べましたが、nを含んでよくわからない問題は、具体的にやってみることが大切です。

大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、上記のように、3~4完+部分点が狙えます。
合格点を大きく上回るでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
(1)
共通接線の話は、『Focus Gold』(啓林館)あたりにはまず載っています。
文系の大問1も共通接線の問題でした。
(2)
軌跡、領域の問題。
原型になるような問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりにはまず載っていますし、このくらいちょっといろいろやる程度の問題も入試標準問題集には載っているでしょう。
完答すべきです。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
文系の大問3と共通問題です。
整数問題です。

具体的にn=1、2、3…とやってみて、あたりをつけるのが定石でしょう。
そうすれば方針が見えると思います。
完答すべきです。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
半径1の円に内接する等脚台形の4辺の積の最大を考える問題。

まあ、半径1を使うために、円の中心から頂点に補助線を引くものでしょう。
図形問題で最大最小を考えるときは、角をθとおく選択肢を常に頭においておきましょう。
このくらいで、4辺の積を三角関数の最大値に帰着できそうだな、と思えれば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
複素数平面と確率と漸化式の融合問題です。
複素数平面の図形的な読み取りは教科書基本レベルで、確率と漸化式の部分も入試標準問題集ではよくあるような話です。
完答すべきです。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
微分、積分、弧長の問題。
(1)
ゴリゴリやれば出るでしょう。
(2)
ちょっと計算の途中の工夫が大変かもしれません。

 

大問6

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
四面体の問題。
文系大問4と共通問題です。
(1)
垂直を示す問題。
ベクトルでも初等幾何でもいいでしょう。
四面体の線分の垂直をベクトルで証明する問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりには載っています。
(2)
ちょっと思いつきにくいと思います。
合格には(1)ができればいいと思います。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、上記のように、3完+(2半~1完2半)ほどが狙えると思います。合格点を大きく上回るでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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