【2023】東京工業大学(東工大)数学 難易度と傾向と対策:小問で部分点を集める

 

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【2023】東京工業大学(東工大)数学 難易度と傾向と対策:小問で部分点を集める

 

東京工業大学入試の数学で悩んでいる人へ

 東京工業大学数学が難しすぎて、大問を全く完答できない。また、どのくらいが合格レベルかが全くわからずに、悩んでいませんか?
 実は、東京工業大学の数学は、月刊『大学への数学』誌の難易度でCの大問が多く、これは、東大の成績開示なども見ると、並の東大理系合格者くらいでは、完答できない人が多いことを表しています。1つの大問全体を完答できている人は、あまりいないということです。
 この記事を読むと、東京工業大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、どのような教材をマスターすればいいのか、などを知ることができます。

 

東工大入試における数学の重要性

 東工大の数学の配点は300/750です。非常に配点が高く、東工大入試の最重要科目であることがわかります。試験時間は180分です。
 また、数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいといえます。
 以上より、東工大入試における数学の重要性がわかると思います。

 

東工大数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 大学入試の数学は、物理、化学と異なり、大問ごとの難易度の波が激しいことが多いです。東工大でも、並の合格者程度では、まあ解けないだろう、という問題もよく出ます。特に東工大では、月刊『大学への数学』誌のCランクの問題が多く、これは、並の東大理系合格者程度では、完答できないことが多いことを表しています。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2023年東京工業大学合格への数学得点戦略

 令和5年度(2023年)一般選抜(前期日程)合格者学院別得点は、以下のようでした。

学院 合格最低点
理学院 383
工学院 380
物質理工学院 363
情報理工学院 445
生命理工学院 357
環境・社会理工学院 366

東工大のサイトより引用

 情報理工学院だけ、異常に合格最低点が高いのは、いわゆるGAFAMあたりが高給を出すような社会情勢において、東大はハイレベルな進振りに勝ち抜かないと、情報系に進学できないからではないか、と言われています。したがって、情報理工学院は、とりあえず置いておきます。

 他学院は750点満点中、5割以下の得点で合格できることがわかります。
 ここで、大学受験全体の傾向を述べますと、物理、化学は、基本を理解して、問題集を解けるようにすれば、入試ではかなりの高得点を取れるようになります。英語も、ちゃんと勉強すれば、高得点を狙える科目です。
 一方で、数学は、大問ごとの難易度の波が大きく、ある程度入りやすいと言われる大学でも、並の東大合格者程度では解けない、月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が出題されます。
 そして、東工大の数学は、異常に月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が多く、完答をできている人はかなり少ない、ということがわかります。
 したがって、東工大の合格レベルに達していない人がまず目指すべきなのは、数学は5割を少し切る程度。そして、英語、物理、化学の網羅度を高め、高得点を目指す、ということになりそうです。

 

他サイトへの疑問

 たしかに、東工大の配点は、数学が300/750と、数学の配点が非常に高いです。したがって、安直に「数学で高得点を狙おう!」のようなことを書いてあるサイトが散見されます。
 しかし、上記のように、東工大の数学は、並の東大合格者程度には、客観的に難しいことがわかっています。そのような入試の数学で、どうやって高得点を取るのですか?

 

 

2023年東京工業大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査しています。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析
します。

 

大問1

『大学への数学』誌の難易度はC。
ある関数の0から2023までの定積分の整数部分を求める問題です。
直接的には、チャート式やFocus Goldあたりには、類題がないので、ほぼ白紙だった人も多いかと思います。一方、はさみうちの原理などで、似たような操作をするので、ある程度部分点を取れた人もいたかと思います。
はさみうちの原理と同じように考えて、2/exという関数を定積分すると、2より小ということはわかります。このあたりで十分合格ラインかと思います。1より大を示すのは、実戦的には難しいと思います。

 

大問2

『大学への数学』誌の難易度はC。
整数問題です。
整数問題のセオリー通り、左辺は因数分解できるだけして、右辺は素因数分解をできるだけします。

類題は各大学の、過去問あたりに、いくらでもありますが、左辺の式が複雑なのと、右辺の数が大きいことが、難度を高くしていると思います。類題を参考に、絞り込んだり、表を書いたりすれば、理論的には完答できますが、実戦的には難しいかもしれません。

 

大問3

『大学への数学』誌の難易度はC。
複素数平面と確率の融合問題です。
東工大では、複素数平面は頻出で2022年は2題も出ています。一方、確率は、なぜか近年出題されておらず、2018年以来の出題となりました。(確率は他大では頻出です。)

(1)
本問のメカニズムを理解すると『合格る確率』(文英堂)あたりの類題に帰着されます。「サイコロをn回投げた積が◯の倍数」といった問題に近いです。チャート式やFocus Goldでは、上位国立大学の確率は弱いです。京大、一橋あたりで、類題がよく出るイメージです。このあたりをマスターしていれば、スムーズに完答できるでしょう。

(2)
本問も、メカニズムを理解すれば、易しめの確率漸化式になります。この大問3は、難易度はCがついていますが、きちんと受験勉強をしていれば、完答は比較的しやすいのではないかと思います。

 

大問4

『大学への数学』誌の難易度はC。
数3の積分の体積の問題です。

直交する円柱の共通部分の体積の問題、それにひとひねりある問題はFocus Goldあたりには載っています。本問の状況は似ていて、同じように考えれば解けます。
ちなみに、塾長が、Focus Goldを採用している理由の1つは、数3の積分の体積のこのあたりの問題のバリエーションと、例題と問題の対応が素晴らしく、生徒をスムーズに、本問のレベルに連れて行けるから、です。
本問は、決して簡単ではありませんが、Focus Goldの体積の問題を完璧にマスターしていれば、十分完答は可能と言えます。

 

大問5

『大学への数学』誌の難易度はC。
空間ベクトルの問題です。

(1)
難しいと思います。
正射影ベクトルを使って求めている模範解答が多いようです。
たしかに「正射影ベクトル」は、チャート式やFocus Goldあたりに載っています。また、予備校などでは、テクニックとして教えていることが多いでしょう。一方、予備校などでの扱い方に比べると、意外に、上位国立大学で使うことは少ないように思います。
東大ならともかく、東工大受験生で本問で方針が立った人は少なかったのではないでしょうか。
また、答が、空間座標における「平面の方程式」になることも注意が必要です。しっかり勉強しておけ、ということですね。

(2)
(1)が誘導なわけですが、(1)からして難しいので、合格者でも、できなかった人が多かったのではないかと推測します。

 

東工大数学の傾向と対策と勉強法は?

 東工大の数学は、大問5問、試験時間180分。
 完答は難しい大問が並ぶことが多いです。2023年は、『大学への数学』誌の難易度がCCCCCでした。
難易度Cは、並の東大理系合格者程度では、完答できないことが多いことを意味します。東工大にギリギリ合格する程度の受験生ならば、なおさら完答できていないでしょう。ただし、年度にもよりますが、小問で分けられていることも多く、完答は厳しいものの、途中の小問までは、比較的取り組みやすい、という場合も多いです。
 確率は、同じ「確率」の分野でも、「共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるもの」と「上位国立大学で出題されるもの」は、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。2023年の東工大は上位国立型だったと言えます。「上位国立大学で必要な技法」は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。
 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。
 数3の微分積分はまず出ると思ったほうがいいと思います。Focus Gold数3の入試に出る技法の網羅度は、かなりのものです。の技法を完璧にし、まずはFocus Gold数3の本文の問題を全問解けるようにしましょう。

 

東工大オススメ参考書、問題集

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Goldの東工大に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、東工大レベルの成績になっているはずです。
 東工大対策としては『合格る確率』、整数対策、『理系数学良問のプラチカ1A2B』、あたりを合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや過去問の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番での対応力が向上するでしょう。

 2023年は、やはり、教科書を理解し、Focus Goldでよく出る技法をマスターし、確率と整数を補強すれば、十分、他の受験生に差をつけることができたと思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

他記事への疑問:『理系数学良問のプラチカ数3』?

 『理系数学良問のプラチカ数3』(河合出版)は、並の東大合格者も解けていないような問題が多いです。難易度としては、東工大入試と似ているのかもしれませんが、全体として難易度が似ている教材をこなせばいいというものではありません。大学受験数学というものは、あくまでも、簡単なほうから、どれだけ上積みできたか、で得点が決まります。特に東工大の場合、完答できる問題が少なく、部分点をどれだけ集めたかで合否が決まりますが、部分点に必要なのは、教科書、Focus Gold、確率と整数の補強、入試標準問題演習。あえて加えるなら、東工大あたりの過去問です。
 したがって、東工大受験生で『理系数学良問のプラチカ数3』に手を出していいのは、全科目ですでに合格レベルにある人が、そこからの上積みを狙うケースに限られます。ただ、そのような人は、東大を受ける場合が多い気がします。

 

2019年東京工業大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『大学への数学』4月号の難易度はB。
(1)
座標平面上の三角形の辺の長さと面積についての不等式を証明する問題。
教科書の不等式の証明の基本通り、(左辺)-(右辺)≧0を示せばOKです。
文字が3つになりますが、数研出版の教科書の不等式の証明のところには、文字が2つで、1文字に着目して平方完成する問題が載っており、同じようにやればいいでしょう。
(2)
(1)が四面体に拡張されたような問題です。
このような問題は前問は誘導なのではないかと考えましょう。
本問も四面体の各面の三角形について(1)の不等式を用い、辺々加えれば示せます。
完答すべきです。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はC。
定積分を含む等式を成り立たせる関数f(x)と定数A、Bを求める問題です。
基本形は教科書にも載っています。
微積分学の基本定理(積分して微分すると元に戻る)を使えるようにするために、置換してxを∫の前に出す技法は他大でも問われています。
絶対値つき定積分を場合分けして考える問題もチャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
理論的には上記の技法を駆使して丁寧に解いていけばいいのですが、実戦的には完答は厳しいでしょう。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
複素数平面の問題です。
(1)
つまり、原点からの距離と格子点の話になります。
丁寧に調べていけば正解できるでしょう。
(2)
複素数を掛けるということは、極形式で考えると、拡大と回転ですから、領域を図示して、その中の格子点を丁寧に数えれば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はD。
交わらず平行でない直線によって平面を分割する問題は、教科書の漸化式のところに載っています。
それが次元が上がって、平面で空間を分割する問題です。
(1)
教科書と同じように考えれば解けるでしょう。
(2)
問題文の例もふまえ、なるべく完答に近いところまで食いつきたいです。
(3)
そろそろ難しいでしょう。
最初のいくつかを調べて部分点を願う、くらいでしょうか。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
数列と微分の融合問題です。
(1)
このような関数を2回微分して単調増加、減少を示す問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
(2)
「確率の最大値」を考えるために第k-1項と第k項の比が1より大か小かで増減を調べる問題はチャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
本問も指数、階乗を含むので、それと同じように考えるといいでしょう。
もちろん、(1)の結論は使います。
完答すべきです。

 

東京工業大学数学の傾向と対策と勉強法

 大問1、大問5を完答し、他の問題で上記のような方針で部分点を取れば、十分、他の受験生に差をつけることが出来たでしょう。
 そのためには、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大丈夫です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年東京工業大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
複素数平面の問題。
(1)
同一直線上ではないときは等脚台形の4頂点で、等脚台形の4頂点が同一円周上にある、という論証は簡単だと思います。
途中は、いかにも解と係数の関係の形です。
(2)
(1)と同様の議論でゴリゴリやれば完答も狙えるでしょう。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
整数問題の不定方程式の問題。
(1)
1組求めるだけなので、35と91は9の倍数、または、91と65は13の倍数に注目して絞り込めば求まると思います。
(2)
(1)を誘導と考えましょう。
(1)の結果を与式に代入して辺々引くのは教科書にもある話です。
以下もこの手の問題で教科書や『Focus Gold』あたりには載っている話で、そうすると完答も狙えると思います。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
ただ、予備校の分析では「標準」としているものもあります。
(1)

方程式がある領域に実数解を持たない、持つの問題。
「無限個」という問題文にビビるかもしれませんが、原型になるような問題は『Focus Gold』あたりにはまず載っており、少し複雑ですが忠実にやれば解けると思います。
(2)
極限を求めるとき、はさみうちは常に選択肢に入れましょう。そのような問題は『Focus Gold』あたりに何問か載っています。
そうすると完答、それに近い結果も得られるかもしれません。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
(1)
空間座標の問題。
問題を把握して内積0を使えば求まると思います。
(2)
題意を把握して計算すれば求まるのでしょうが、なかなか難しいと思います。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
確率と漸化式の問題。
(1)
普通に式を立てるだけです。
(2)
(1)と同様に式を立てて計算するだけです。
(3)
理論的には解けるのでしょうが、文字が多くて大変そうです。
(2)まで解ければいいのではないでしょうか。

 

東京工業大学数学の傾向と対策と勉強法

 『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はCCDCCでした。
 ただし、すべての大問が小問に分かれているので、大問の完答は難しいものの、小問は解けそうなものも多く、どれだけ集めたか、の勝負だったと思います。
 2018年東大理系がBCBBDCで理Ⅰの合格者平均が120点満点中70点、理Ⅱの合格者平均が52点(東京大学新聞調べ)なので、東大理系の平均的な合格者はC問題は完答できていないと思われます。
 東工大も同様で、平均的な合格者は部分点だけ集めて大問としては0完、という人が多かったのではないでしょうか。
 大問を完答する難易度だけで見ると、東工大のほうが東大より簡単、というわけでもありません。
 結局、出題が標準的でも難しくても、教科書を理解して、『Focus Gold』(啓林館)あたりをマスターして、入試標準問題演習をして得られた実力の範囲で、どれだけ精度良く点数を取れたか、で勝負は決まっています。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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