【2024】大阪大学数学(文系・理系) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

【2024】大阪大学数学(文系・理系) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

大学受験の数学の勉強法・参考書

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京都大学数学(文系・理系)

 

大阪大学入試の数学で悩んでいる人へ

 大阪大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、大阪大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、大阪大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

大阪大学文系入試における数学の重要性

 大阪大学文系二次試験前期の数学の配点は、法学部、経済学部は全体の1/3です。(文学部などは配点が低くなっています。)見た目だけでも、大切そうですね。 
 また、2024年は、難易度がCCDとかなり難しく特殊な年でしたが、2023年のようにBBBといった場合、黄チャートあたりを網羅した上で入試標準問題演習をしている人は、かなりの高得点を取れるので、数学が苦手な人は、かなり、差をつけられてしまいます。
 さらに、阪大文系数学は、大問が3つしかありません。他の受験生が解けている問題が、黄チャートあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、大阪大学文系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

大阪大学医学部・理系入試における数学の重要性

 大阪大学文系二次試験前期の数学の配点は、医学部は500/1500、理学部、工学部は250/700、と全体の1/3以上となっています。見た目だけでも、大切そうですね。 
 また、2024年のように、難易度がBCCBCの場合、Focus Gold、黄チャートあたりを網羅した上で入試標準問題演習をしている人は、かなりの高得点を取れるので、数学が苦手な人は、かなり、差をつけられてしまいます。
 さらに、阪大理系数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Gold、黄チャートあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、大阪大学医学部・理系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

大阪大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 大阪大学の数学は、当然、難しい出題もあります。年によりますが、最初から、全く方針が立たないこともあるでしょうし、完答できなそうな問題など、珍しくありません。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年大阪大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 大阪大学文系は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより、はっきり入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、大きく合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はC。
絶対値つき二次関数と積分(面積)の問題です。

(1)
絶対値つき二次関数と直線の交点の座標を求める問題です。
まあ、絶対値つき方程式と同じ話ですから、丁寧に場合分けをして絶対値を外して方程式を解くのは、Focus Goldあたりに載っているので、解けます。

(2)
囲む面積が等しくなるようなaの値を求める問題です。
本問は、愚直に問題文の面積を求めに行くのではなく、両方に、同じ領域を加えてあげると、両方とも簡単に1/6公式で面積が求まる形になります。ただ、このような話は、載っている本には載っていますが、Focus Goldあたりには載っておらず、初見では気づきにくいので、難易度Cなのかな、と思います。しっかり受験勉強をやっていれば、十分完答も狙えますが、阪大文系でそこまで数学を突き詰めている人がどれだけいるかな、ということかと思います。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
ちょっと話題になった「座標空間内の直線lとz軸はねじれの位置にある。lとz軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ」という問題です。
まず、教科書をよく読んでいない人は「ねじれの位置」という言葉で、冷静さを失った可能性があると思います。
次に、本問は見た感じ、定型的ではないので、さらに冷静さを失った可能性があると思います。
ただ、少し冷静に考えてみましょう。「空間の2直線に直交」という問題は、教科書の空間ベクトルのところに載っています。z軸上の点は(0,0,p)とでも置けます。ベクトルで行くとすると、直線lは、1点と方向ベクトルで表す話が教科書に載っています。(文字を多く使うのでやりにくいかもしれませんが。)これで、内積0を2回使い、1通りに定まることを示せば、示せたことになります。
このように、冷静になれたか。完答できなくても、どれだけ部分点を取れたか、が勝負だったかと思います。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はD。
整数問題です。

(1)
15番目の素数を答えるだけの問題なので、正解できます。がんばりましょう。

(2)
自然数についての不等式の問題なので、数学的帰納法でいくというのはいいと思います。最低、このくらいの部分点は確保しましょう。
このあとが数学的帰納法の定型ではないので、難易度がDなのだと思います。一方、本問の仮定はpk>3k、証明すべき不等式はpk+1>3k+3です。実は、3kの次の3k+1から順々に3k+2、3k+3と調べていくと、わりと簡単にpk+1>3k+3を言えてしまいます。整数問題において、実際にやってみることの大切さが、ここでも現れましたね。
ただ、完答できた人は多くないのではないかと思います。

 

大阪大学文系数学の勉強法と傾向と対策

 大阪大学文系の数学は、大問3問、試験時間90分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がCCDでした。難易度C問題を完答できる人は、東大理系や阪大医学部合格者でも少ないので、C、D問題のBレベルの部分点、という方針で、阪大文系なら、大きく合格点を超えます。2024年は特殊でしたが、教科書と黄チャートの内容で全力を尽くし、部分点を集めれば、十分に合格点を超えたと思います。
 以上は、黄チャートあたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 微積分、確率、ベクトルがよく出題されます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

大阪大学文系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、黄チャートあたりの重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、大阪大学文系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な東大理系や大阪医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、黄チャートや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2024年大阪大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 大阪大学理系は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより、はっきり入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、大きく合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の極限、微分の問題です。

(1)
方程式がただ1つの実数解を持つことを示す問題です。
増減表を書きに行って、中間値の定理から、わりと簡単に示せます。やや複雑ですが、やっていることの枠組みは教科書レベルと言えるので、解けます。全国的に、類題はよく出題されています。

(2)
極限値を求める問題です。
まあ、このような極限は、はさみうち、ということでいいでしょう。また、(2)だけ見ても全くわからないので、大学受験数学において、このような小問集は、上の結論を使う、という考え方が大切です。anは(1)の方程式の実数解なので、素直に代入して変形すると、比較的簡単にはさみうちできると思います。その過程でも(1)の答案を使います。Focus Goldあたりにも、どのように、はさみうちに持っていくかを鍛えられる問題は、何問か載っているので、そのような取り組みをしていれば、解けると思います。ただ、はさみうちへの持って行き方は、実際の入試っぽい問題がいいかな、と思います。年度別『入試問題集』(数研出版)あたりから探すといいかと思います。

(3)
本問も極限値を求める問題です。
anは(1)の方程式の実数解なので、(2)以上に素直に代入すると、本問のnanが得られます。あとはnanについて解く方向で行けば解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
複素数平面の問題です。

(1)
「逆像法」という技法を知っていると、かなり見通しよく解けますが、そうでないと問題文の式を変形するくらいで止まってしまう可能性も高いと思います。受験生の出来は、かなり悪かったのではないかと想像します。他の大問でがんばれば、合格点を超えると思います。

(2)
(1)ができると簡単なのですが、おそらく(1)をできた人が少ないので、あまり差はつかない問題だったかと思います。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
文系第2問と共通で、ちょっと話題になった「座標空間内の直線lとz軸はねじれの位置にある。lとz軸の両方に直交する直線がただ1つ存在することを示せ」という問題です。
冷静になって、教科書、黄チャート(Focus Gold)レベルのことをどれだけできて、部分点を取れたか、の勝負だったかと思います。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の積分(体積)の問題です。

(1)
半円とx軸並行の直線で囲まれた領域をy軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題です。原理的には教科書レベルなので、解けます。

(2)
「円の領域をy軸周りに回転させた回転体の体積」の2倍が(1)の体積になるときのaの値を求める問題です。
実は、「円の領域をy軸周りに回転させた回転体の体積」は「パップス=ギュルダンの定理」で簡単に求まります。ただし、記述式の答案なので、しっかり回転体の体積を求める積分の式を書くべきでしょう。しかもy軸周りではなくx軸周りですが、数研出版の教科書には載っている教科書レベルの問題と言えます。したがって解けます。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はC。
整数問題です。

(1)
文字ばかりで抽象的なので、ちょっと、具体的な数字でやってみるといいと思います。すると、Focus Goldあたりの集合に載っている、円が3つあるベン図の要素の個数の話に帰着されることがわかるので、解けます。最後の因数分解は少し難しいですが、最終形が問題文にあるので、大丈夫でしょう。

(2)
約数うんぬんの問題なので、素因数分解された形、素因数の数で場合分けすると思いつけば、かなり見通しがいいと思います。Focus Goldあたりには、そのような問題が載っています。あとは、素因数分解されているので、「素数」の性質を存分に使うことになります。たとえば、「偶数の素数は2のみ」などです。整数問題にかなり精通していると、完答も可能かと思いますが、なかなか難しい問題かとも思います。

整数はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、何らかの補強をしたほうがいいです。大学受験塾チーム番町では、整数問題集を渡しております。

「素数」という文言を見たら何を考えるか、などは、以下のページに記載しております。
 ↓ ↓ ↓
整数問題攻略の7つのポイント 何を考えればいいのか?

 

大阪大学理系数学の勉強法と傾向と対策

 大阪大学理系の数学は、大問5問、試験時間150分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBCCBCでした。難易度C問題を完答できる人は、東大理系や阪大医学部合格者でも少ないので、B問題完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、阪大非医学部なら、大きく合格点を超えます。医学部もそれで合格点です。2024年は大問1,4を完答。その他を教科書や黄チャート(医学部はFocus Gold)あたりの理解と技法で、部分点を集めれば合格点だったと思われます。
 以上は、非医学部なら黄チャートあたり、医学部ならFocus Goldあたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば(医学部はもっと補強したほうがいい)、十分達成できます。

 微積分は1題以上は出題されると思います。その他、確率、ベクトル、整数あたりがよく出題されています。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

大阪大学理系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、黄チャートあたり(医学部はFocus Goldあたり)の重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、大阪大学理系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な東大理系や大阪医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、黄チャートや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2023年大阪大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
三角方程式が実数解を持つa,bの存在範囲をab平面上に図示する問題です。
COS2θを倍角で変形するのは教科書レベルです。sinθ=t とでも置くと、その後、Focus Goldあたりの二次方程式の解の配置の後ろの方に載っている、「二次方程式が-1≦t≦1の範囲に少なくとも1つ実数解を持つ」という話に帰着されるので、解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
対数関数と微分の融合問題です。

(1)
t=log2xとおいて、与式を整理する問題です。Focus Goldあたりでは、やっている変形でしょうから、解けます。

(2)
文字定数aを含む、3次関数の最大値を求める問題です。Focus Goldあたりには載っているので解けます。コツは、連続関数の場合、最大値は、極大値か定義域の両端でしか取らないので、定義域と極値の位置関係に注目することです。
完答しましょう。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
ベクトルの問題です。

(1)
内積を求める問題です。
教科書通り、「ベクトルの大きさは2乗せよ」の格言で、ゴリゴリやれば出ます。

(2)
OPベクトルの大きさの最大値と最小値を求める問題です。ただ、見た感じ、よくわかりません。
そこで、このような小問集は、上の問題の結論を使うのではないか、という考え方が、大学受験数学では大切です。
(1)の答の内積の値は0です。
つまり、問題で最初に与えられている2つのベクトルは、直交する単位ベクトルだ、ということがわかります。したがって、そのように変換して考えると、xy平面上の座標の話として考えることができ、簡単に解けます。
円や球は中心が大切、という問題もFocus Goldあたりには載っています。
完答したいところですが、(2)のように考えるのは、あまり定型的ではないので、ここがどうかな、というところかと思います。

 

大阪大学文系数学の勉強法と傾向と対策

 2023年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBBBでした。黄チャートあたりを超える、なにか「発想」のようなものが必要な問題は無いので、完答も狙えます。あとは、大問3(2)が定型的ではなかったので、どうかな、というところかと思います。いずれにせよ、その程度で、合格点を大きく超えるでしょう。
 以上は、黄チャートあたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2023年大阪大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数列、数3の極限、積分の融合問題です。

(1)
不等式の証明の問題です。
実は、与式の中辺は、Focus Goldに載っている問題とほぼ同じ形をしています。ただ、初見でも、単なる等比数列の和なので、計算できます。
あとは、不等式の証明なので、教科書通り、愚直に、(右辺)ー(左辺)≧0を示しにいけば証明できます。

(2)
極限を求める問題です。
まあ、こういう極限は、はさみうちでしょう。しかし、パッと見た感じ、全くわかりません。ただ、anが(1)の中辺の一部にかなり似ています。また、このような小問集は、上の小問の結論を使うのではないか、と考えることが、大学受験数学では大切です。
そうすると、(1)の各辺を定積分すればいいのではないか、ということになります。この話自体は教科書レベルですが、ここで、こう思えるかは、なかなか難しいかと思います。
あとは、積分計算をすればいいので、解けます。
できれば完答したいです。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
ベクトルの問題です。
文系第3問と共通問題です。
完答したいです。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
微分、接線の問題です。
つまるところ、整関数では数2のFocus Goldあたりに、また、数3のFocus Goldあたりにも載っている、「曲線外の点から、接線を◯本引ける△の値を求めよ」という問題と同じです。
したがって、大きな枠組みはFocus Gold通りにやればいいので、解けます。
場合分けが複雑なので、難易度Cなのかな、と思いますが、なにか、発想といったものが必要なわけではなく、普通にやっていけば生じる場合分けなので、理論上は、十分、完答を狙えます。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はC。
空間ベクトルの問題です。

(1)
ベクトルに関する等式の証明の問題です。
内積0が使えるのはFocus Goldあたりではよくやる操作なのでいいと思います。
あとは、3点A、P、Qが同一直線上にあるので、最終形から、内積の定義において、なす角が0かπということを使えばいいので、示せます。ただ、同一直線上の3点で、この話はあまり使わないので、どうかな、というところですが、最終形から逆算して考えると、思いつくのではないかと思います。

(2)
大学受験数学で、このような小問集は、上の小問の結論を使うのではないか、という考えが大切です。(1)の式をxy平面の話にするために計算してみる、というのはいいでしょう。すると、2次曲線らしき式が現れます。理論上は、教科書通りに場合分けするだけなのですが、楕円、双曲線あたりの計算がやや大変なので、難易度Cなのかな、と思います。理論上は完答も狙えると思います。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はB。
確率漸化式の問題です。

(1)
最初の2回だけが問われているので、愚直に具体的にやってみればいいので、解けます。
ただし、(2)の確率漸化式でも使う考え方を触れますと、本問は7の倍数でなければ、いずれの場合も次は確率1/6で7の倍数になります。このように「7の倍数でなければ、いずれの場合も」と「まとめる」考え方を理解できない人が、意外に多いようです。数研の教科書の確率漸化式には、このような問題が載っています。大学受験塾チーム番町で採用している『合格る確率』(文英堂)には、このような「まとめる」考え方に1問割いています。

(2)
(1)をヒントにすると、いちばん簡単な特性方程式で解く2項間漸化式になるので、教科書レベルと言え、解けます。
完答しましょう。

 

大阪大学理系数学の勉強法と傾向と対策

 2023年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBBCCBでした。ただし、大問1,2もちょっと最後のほうが定型的ではないので、難易度Bでも完答しにくいかもしれません。一方、大問3,4は途中まではかなりスムーズに行けそうなので、難易度Cでも、かなりの部分点を狙えます。大問5は完答したいです。このくらいで、非医学部なら大きく合格点を超えたでしょう。
 以上は、黄チャート(医学部ならFocus Gold)あたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャート、Focus Goldあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

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