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【2024】東京大学文系・理系数学 年度別難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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東大・医学部受験の数学の勉強法

東大のこと、教えます(プレジデント社、小宮山宏)

キムタツの東大に入る子が実践する勉強の真実(KADOKAWA)

 

【2024】東京大学文系・理系数学 年度別難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

東京大学入試の数学で悩んでいる人へ

 東京大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、東京大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、東京大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

東京大学文系入試における数学の重要性

 東京大学文系の数学の配点は、80/440です。一見、それほど配点が高くないように見えます。一方、東大模試の標準偏差(つまり点差のつきやすさ)などを見ると、現代文や国語全体あたりが、かなり差がつきにくいのに対し、数学は、かなり点差がつきやすい科目であることがわかります。また、かつて、東大新聞が合格者の成績開示の調査をしていました。下記の2018年度版で少し触れています。120点満点で標準偏差が高めの英語よりも、数学のほうが、さらに標準偏差が高い年も多いようです。
 また、数学は、大問が4つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、東大文系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

東京大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 東大の数学は、当然、難しい出題もあります。年によりますが、最初から、全く方針が立たないこともあるでしょうし、完答できなそうな問題など、珍しくありません。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

 

2024年東京大学文系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、かつて東大新聞は合格者の平均点を調査していました(当ページ下の方、2018年版に、その旨記載しています)。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
「図形と方程式」「三角関数」「積分(面積)」「不等式の証明」「因数定理」
あたりの融合問題です。
東大らしい、オリジナリティーが高いが、教科書通りに淡々とやっていけば解ける、といった問題です。

(1)
通る点を図形の方程式に代入する、接線が一致するから傾きも等しい、といった教科書レベルの基本的なことを淡々とやっていくだけなので、解けます。

(2)
積分で面積を求める問題です。教科書に載っているいわゆる「1/6公式」を使えるので、時間もかかりません。ただし、すぐに「1/6公式」に飛びつくのではなく、論理的な答案になるように、答案の作法を身につけることが大切です。

(3)
不等式の証明の問題です。
両辺が正はすぐ言えるので、教科書通り、(左辺)2ー(右辺)2≧0を示しにいけばいいので、解けます。途中、因数定理で因数分解をするのに、1/2を代入することに気づかなければなりません。これも代入する候補は、(定数項の約数)/(最高次の約数)というのは、Focus Gold(5th)数2の121ページなどに載っています。

したがって、本問は完答できます。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
対数の問題と言えます。

(1)
教科書の数2の対数関数のところにも載っているような不等式なので、両辺の対数を取れば、解けます。ただ、不等式の評価は、教科書でもFocus Goldでも弱いですが、上位大学受験の数学では、わりと使う場面があるので、本問で慣れるといいでしょう。

(2)
不等式を満たす最小の自然数mを求める問題です。
理系だと、数3で指数関数の発散のスピードを考えることがあるので、見通しがいいかもしれませんが、本問は文系の出題です。やはり、大学受験数学において、よくわからないものは、具体的にやってみる、というのが大切です。
本問も、具体的にやってみると、4mより5mのほうが急激に増加するので、左辺はほぼ5mなのではないか、と思えるかがポイントだったかと思います。すると、ほぼ(1)と同じ問題ということになります。あとは、4mの部分が影響するかどうかを論理的に論証するということになります。ここで、教科書やFocus Goldあたりに載っている、桁数を求める問題、最高位の数を求める問題、の技法を使います。
言われれば難しくないが、オリジナリティーが高く、実戦的には難しい、東大らしい出題だったと言えると思います。
おそらく完答できた人は多くなく、(1)を確保、(2)でどのくらい部分点を取れたか、という勝負だったかと思います。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
座標平面上に三角形が2つあります。「図形と方程式」「三角比」「三角関数」「高次方程式」
あたりの融合問題です。
本問も、第1問同様、東大らしい、オリジナリティーが高いが、教科書通りに淡々とやっていけば解ける、といった問題です。

(1)
qをpで表す問題です。
まあ、直角三角形があるので、問題文の情報から、tanを使うのはいいと思います。すると、もう片方の三角形からも、教科書レベルの傾きとtanの関係から式が立つことがわかります。その後、tanの加法定理でいくのも、数2の教科書に載っている話です。したがって、やや式は複雑ながら、1つ1つの枠組み自体は教科書レベルと言え、解けます。

(2)
q=1/3となるpの値を求める問題です。
素直に(1)に代入すると、3次方程式になります。この因数定理の代入の候補は、本年第1問のところに書きました。したがって解けます。

(3)
2つの三角形のうち、直角三角形のほうが面積が大きくなるようなpの値の範囲を求める問題です。
まあ、高校生は、この状況の三角形の面積は、(1/2)×(2辺の積)×(狭角のsin)で求めるのは教科書レベルと言えます。すると、意外にも簡潔な不等式になるので、解けます。
完答しましょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はC。
円に内接する正n(奇数)角形の頂点から4点を選んだ時、できる四角形が円の中心Oを含んでいる確率を求める問題です。

実は、本年の一橋大学の第5問が、ほぼ、本問の「四角形」を「三角形」に変えただけの問題でした。つまり、三角形が鋭角三角形になればいいわけですね。だだ、直角三角形と鈍角三角形のほうが数えやすいので、余事象を取ります。そして、この一橋の問題は、当塾が確率の補強として使っている『合格る確率』(文英堂)に、ほぼ同じ問題が載っています。
『合格る確率』のその問題をマスターしていれば、東大の本問も、かなり見通しよく解けます。東大の本問も余事象を取ります。したがって、理論上は完答も可能です。
一方、経験がないと、なかなか難しく、『大学への数学』誌もCをつけていますし、合格者も、かなりできが悪かったようです。

 

東京大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 東京大学文系の数学は、大問4問、試験時間100分。微分積分、確率、整数がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、などです。上位大学に特有な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。2024年の確率などは、まさに恩恵が大きかったです。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 微分積分は取り組みやすいことが多いです。ただ、2023年のように、文字aなどを含み、場合分けをする、といったことを求められることが多いです。Focus Goldの技法を完璧にし、『文系数学良問のプラチカ』で対策をしたいです。

 東大数学の1つの特徴は、オリジナリティーの高さ、それほど難しくはないが類題があるわけではなく、問題文を読んで教科書やFocus Goldレベルの操作を淡々とする(2024年第1問など)だと思います。過去問集である『東大の文系数学25カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 「高いレベルの思考力、発想力を試す問題が多く出題」などという意見もありますが、合格者平均点を見るに、そのような問題は、平均的な東大理系合格者は解けていないので、思考力、発想力などと言ったものは、いらないと思います。当サイトの分析のように、教科書の理解と「Focus Goldのあの技法を使えばいい」といったアプローチで、大きく合格点を超えます。東大入試程度で小難しいことを言っている人達は、偽物だと思ったほうがいいと思います。

 したがって、最強の東大数学対策は「学校と並行して、学校採用問題集(Focus Goldあたりは、どれもほぼ収録問題が変わらない)をひたすらマスター」し、東大を中心に、合否を分けるレベルあたりを中心に、入試問題演習をする、ということになります(上記のように、確率、整数は補強が必要)。

 2024年の難易度はBCBC。ある調査によると、文系全体の合格者平均は33点ほどだったようです。B問題完答だけで合格者平均を上回りますね。しかも第2問はCですが、(1)は教科書レベルとも言えます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、Focus Goldあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

東大文系数学オススメの参考書、問題集

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。特に、先述のように、東大数学の1つの特徴は、オリジナリティーの高さ、それほど難しくはないが類題があるわけではなく、問題文を読んで教科書やFocus Goldレベルの操作を淡々とすることにあります。したがって、むやみに入試問題に多く取り組むのではなく教科書レベルのことを東大数学で使いこなせるように、教科書の説明を根本から理解することが大切になります。

 次に、Focus Goldの東大文系に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、東大文系レベルの成績になっているはずです。

 東大文系入試対策としては『合格る確率』整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、『東大の文系数学25カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 駿台さん(2回)、河合塾さん(2回)が実施している東大模試もぜひ受けましょう。数学に関しては、レベルが高めの駿台全国模試あたりを受けても、難易度、傾向がわりと近くていいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『東大の文系数学25カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような問題が出るかもしれません。

 

 

2023年東京大学文系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
解と係数の関係、対称式、相加相乗平均あたりの融合問題です。
問題文を読んで、淡々と、教科書や少し上(Focus Gold)あたりの操作をすればいいので、解けます。
最後、相加相乗平均の式がやや複雑ですが、Focus Goldあたりにも、このような形の相加相乗平均の問題は載っていますし、東大受験生がこなす入試問題集にも載っていることが多いでしょう。
完答できます。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
微積分の問題です。

(1)
問題文を読んで、淡々と点と直線の距離の式を立てると、Focus Goldあたりに載っている、絶対値つき定積分に文字定数が含まれるものに帰着されます。あとは、Focus Gold通りに、場合分けすれば解けます。

(2)
単なる3次関数の最大、最小の問題に帰着されます。
本問、最小値は極値で、そのx座標が根号を含み、少しだけ複雑です。この時、関数をh(x)(f、gは問題文で使われている)とすると、h(x)をh'(x)で割ると、h'(x)=0なので、計算がやや楽になる、という技法が使えます。東大文系で過去に出題があります。Focus Goldだと、章末問題に載っています。

完答できます。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率の問題です。

(1)
「どの赤玉も隣り合わない」という、チャート式やFocus Goldあたりには載っている有名問題なので解けます。

(2)
「どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率」というひとひねりが入ります。
結論は、黒玉の並べ替えかたで場合分けをすれば、かなり簡単に解けますが、少しだけ、現場での試行錯誤を必要とします。
(1)の「どの赤玉も隣り合わない」は、チャート式やFocus Goldあたりには載っていますが、高校数学の確率の初学者だった時、その技法を知らずに、まず、自分で試行錯誤して解こうと思った場合、本問のような場合分けを考えるはずです。数学は、特に代数分野のFocus Goldあたり特有の問題は、自分で考えても分からず、技法を覚えなければならないことも多いです。一方、確率は特殊な分野で、様々なゲームが出題され、また、自分で考えてなんとかなることも多いので、代数系よりも、少し、答を見る前に、自分で試行錯誤する時間を多く取ると、実戦力を養えると思います。

難易度Cですが、完答も十分可能です。

 

大問4

『大学への数学』誌の難易度はC。

(1)
三角形の面積を求める問題です。
二等辺三角形であることも考えると、未知数は1文字で済みます。図形的考察や、余弦定理など、解き方は様々ありますが、普通にやれば解けるでしょう。

(2)
四面体の体積を求める問題です。
2023年では、一番難しい問題かと思います。

 

東京大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 2023年の難易度はBBCCでした。ある調査によると、文系数学の合格者平均は50点前後だったようです。上記のように、教科書を理解し、Focus Goldをマスターし、入試標準問題演習をしていれば、2完2半~3完1半あたりは十分狙えましたから、合格者平均も十分超えますね。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2023年東京大学理系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はC。
数3の積分の問題です。

(1)
まあ、x2=tと置換しそうだというのはいいと思います。
そして、積分区間を平行移動するという技法は、Focus Goldあたりの数3の積分には載っていて、本問はそうすると見通しがいいです。
あとは、絶対値も外れそうで、その後は教科書にも載っている、定積分をつけても不等式が成り立つ話をすれば、証明できます。
ただ、解説を聞けば簡単ですが、実戦的には、なかなか難しいかもしれません。

(2)
明らかに(1)と式がにているので、(1)を誘導と考えます。大学受験数学においては、小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。
あとは、形から、区分求積かなと思いたいです。そして、このような極限は、まあ、はさみうちです。本問も、解説を聞けば、教科書、Focus Goldレベルの組み合わせで簡単ですが、実戦的には、なかなか難しいかもしれません。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率の問題です。
上記の文系第3問と同じ問題なので、省略します。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
円と放物線の問題です。

(1)
円の方程式をcosθ、sinθを使って、媒介変数表示すると、三角関数と二次関数の融合の最大値の問題に帰着され、Focus Goldあたりを勉強していれば、難なく解けます。本問は、ぜひ正解したいです。

(2)
円の接線の方程式は求まります。
放物線が切り取る直線の話で、解と係数の関係を使うのは、Focus Goldあたりには載っています。そして置き換えると、4次関数が極値を持つ条件に帰着されます。Focus Goldあたりの数3の微分に、このあたりの話の基本形は載っています。ここで文字定数を含むので、場合分けが必要ですが、これは数2のFocus Goldあたりの微分レベルです。
本問も、解説を聞くと簡単なのですが、実戦的にはどうなのかな、というところかと思います。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。
空間ベクトルの問題です。

(1)
式が3本立ちますから、P(x、y、z)とでも置いて、素直に内積計算をすれば解けます。教科書レベルとも言えるでしょう。

(2)
本問のように、ベクトルで、直線に垂線を下ろす問題は、Focus Goldあたりには載っているので、同様にやれば解けます。

(3)
球面が三角形と共有点を持つような球面の半径の範囲を求める問題です。
(1)(2)を誘導と見て、図形、題意を把握すると、教科書にも載っているような、球面と平面が交わってできる円の話に帰着できるので、理論上は解けます。一方、難易度Bのわりには、空間図形でもあり、図形的考察がやや難しいかもしれません。

 

大問5

『大学への数学』誌の難易度はC。

(1)
整式の割り算の問題です。
色々示し方はありそうですが、1つ、教科書の合同式のところに書いてある話を使うと、f(x)で割った余りが等しいことを示すには、引き算したものがf(x)で割り切れることを示せばいいです。
また、7乗というのを見て、2項展開をしてもいいでしょう。
本問は正解したいです。

(2)
まあ、7乗が出てくるので、(1)を誘導として考え、(2)にあてはめます。
また、(x-1)2を因数に持つための条件の話は、チャート式やFocus Goldあたりの数2の微分に載っているので、そのあたりの式を立てるところまではいけそうです。その後、答えを出すまでも簡単とは言えませんが、上手くやれば、完答も可能でしょう。

 

大問6

『大学への数学』誌の難易度はD。
空間図形の問題です。

(1)
題意を把握すれば、初等幾何と簡単な計算で解けます。
大問の完答の難易度がDなのであって、この(1)は正解したいです。

(2)
本問も、題意を把握し、解説を聞くと、理解はそれほど難しくないと思いますが、初見で解けるかというと、難しいのだろうと思います。最後は数3の積分で体積を求めます。

 

東京大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 東京大学理系の数学は、大問6問、試験時間150分。微分積分、確率、整数、図形がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 上記の通り、2023年は大問6問中、3問が上の小問を誘導と見て考えるとうまくいく問題でした。全国的にこのような問題は多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、などです。上位大学に特有な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。一方、2023年の確率は、「入りやすい大学」寄りの問題にひとひねりを加えた、といった感じでした。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。
 
 東大数学の1つの特徴は、オリジナリティーの高さだと思います。2023年は、大問1、3、6あたりが、解説を聞くと、教科書やFocus Goldあたりに書いてあることの組み合わせで、わかりやすいのですが、初見で解くのは難しそう、という、まさに、東大らしいオリジナリティーの高さだったと思います。過去問集である『東大の理系数学25カ年』
(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 「高いレベルの思考力、発想力を試す問題が多く出題」などという意見もありますが、合格者平均点を見るに、そのような問題は、平均的な東大理系合格者は解けていないので、思考力、発想力などと言ったものは、いらないと思います。当サイトの分析のように、教科書の理解と「Focus Goldのあの技法を使えばいい」といったアプローチで、大きく合格点を超えます。東大入試程度で小難しいことを言っている人達は、偽物だと思ったほうがいいと思います。

 したがって、最強の東大数学対策は「学校と並行して、学校採用問題集(Focus Goldあたりは、どれもほぼ収録問題が変わらない)をひたすらマスター」し、東大を中心に、合否を分けるレベルあたりを中心に、入試問題演習をする、ということになります(上記のように、確率、整数は補強が必要)。

 ある調査によると、2023年は理1、理2の合格者平均は50数点だったようです。難易度がCCCBCDだったため、このような低い合格者平均になったと思われます。本年の場合、人によって、どの問題で点を取れるか違いが出そうですが、上記のように、教科書を理解し、Focus Goldをマスターし、入試標準問題演習をしていれば、合格者平均の50数点は十分に超えることができたでしょう。

 

東大理系数学オススメの参考書、問題集

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの東大理系に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、東大理系レベルに近い成績になっているはずです。

 東大理系入試対策としては『合格る確率』整数対策、『文系数学良問のプラチカ』(1A2Bは『理系プラチカ』よりレベルが高い)、『東大の理系数学25カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 駿台さん(2回)、河合塾さん(2回)が実施している東大模試もぜひ受けましょう。数学に関しては、レベルが高めの駿台全国模試あたりを受けても、難易度、傾向がわりと近くていいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『東大の理系数学25カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような問題が出るかもしれません。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年東京大学文系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
座標平面上の面積1/3の三角形の問題。
理系第2問を少し親切にした問題です。

(1)
文字が多いですが、そもそも「qとrをpで表」すことを要求している問題なので、問題文を読んで式を立てて文字を消去すればできるでしょう。
変域を絞り込む部分も、たとえば、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)の二次関数には、似たような操作をする問題が載っています。

(2)
(1)さえできればあとは微分するだけです。
完答すべきです。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
問題文にベクトルが出てきますが、ベクトルの技法はあまり使いません。
東大は共通テストで問われるようなベクトルの問題(終点-始点で変形、直線○○上にあるから係数を足して1になる、ベクトルの大きさは2乗する、など)はほとんど出ませんね。

(1)
問題文の条件を淡々と教科書レベルの式にして、題意を把握して、積分して面積を求めれば出ます。

(2)
x軸正の部分と線分OPのなす角がθなので、放物線と原点を通る直線が接する直線の傾きの範囲の話に帰着されます。
完答すべきです。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
正八角形の頂点を点Pが動く確率の問題。

正六角形あたりなら、チャート式やFocus Gold(啓林館)あたりにも載っています。

(1)も(2)も丁寧に数え上げれば、あとは教科書レベルとも言える、反復試行の話なので解けます。大学入試の確率の問題は、愚直に数え上げることが多いので、注意しましょう。
完答すべきです。
確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、東大で合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。
問題文にはベクトルが出てきますが、第2問でも述べたように、東大は共通テストで問われるようなベクトルの問題はほとんど出ません

(1)
領域を図示する問題。
絶対値つきのこの領域は、他大でもよく出ます。
真面目にx,yの正負で場合分けをしてもそこまで大変ではありませんが、xに-xを代入しても同じ式なのでy軸対称、yに-yを代入しても同じ式なのでx軸対称なので、第1象限だけ調べればいいということは理解しておきたいです。
ベクトルが表す領域Eについては、点Pを固定して考える技法などはFocus Gold(啓林館)あたりにも載っています。

(2)
直感的にはわかりそうですが、論理的に示せるかというと、少し難しいかもしれません。

 

東京大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 2019年の難易度はBBBBでした。
 予備校さんの評価も、全体として、難化、変化なしと評価が別れ、個々の問題の難易度も評価が別れています。

 私見を述べますと、発想を必要とするような問題はほとんどないので、教科書を理解し、Focus Goldあたりの技法をマスターし、入試問題に慣れれば、時間が許せば70点/80点満点ほどは取れそうな出題だと思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年東京大学理系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』4月号の難易度はB。
定積分をするだけの問題。

この形をx=tanθと置換するのは基本形は教科書に載っています。その他の部分も、教科書に載っている技法で解決します。定積分をするだけの問題は東大では珍しいですが、形は複雑でも基本を貫けばいいという、ある意味、東大らしい出題かもしれません。
完答すべきです。

 

第2問

『大学への数学』4月号の難易度はB。
正方形の中の面積1/3の三角形の問題。
文系第1問から誘導をなくした問題です。

勇気を持ってたくさん文字を導入できるか、文字を消去して1文字についての関数に帰着できるかが問題ですが、3文字使っても面積1/3の三角形が2つあるので式は2本立ち、1文字だけにできる、という見通しでしょうか。
なるべく完答したいです。

 

第3問

『大学への数学』4月号の難易度はC。
座標空間内の八面体の切り口の問題。

(1)
場合分けして切り口をxz平面に図示する問題。
このくらいはできるかな、と思いますが、意外に出来は悪かったようです。

(2)
切り口が八角形になるpの値の範囲の問題。
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。
ただ、出来は悪かったようです。

(3)
さらに出来が悪かったようです。
できれば(2)くらいまでは正解したいところです。

 

第4問

『大学への数学』4月号の難易度はC。
整数問題です。

(1)
最大公約数を求めるので、素直にユークリッドの互除法を使うのは教科書レベルです。
最後nを含むので場合分けをするのもいいでしょう。
正解したいです。

(2)
平方数でないことを示す問題。
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。
もともと整数問題は、なにかで割った余りで場合分けして考えるとうまくいくことがあり、Focus Goldあたりには載っています。本文では(1)が誘導なので、偶奇で場合分けして考えます。
完答は難しいかもしれませんが、なるべく部分点をもらいたいところです。
検討する価値は高い問題かと思います。
整数はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、何らかの補強をしたほうがいいです。大学受験塾チーム番町では、整数問題集を渡しております。

 

第5問

『大学への数学』4月号の難易度はC。
数3の極限、微分の問題です。

(1)
本問のような方程式が、ただ一つの実数解を持つことを示すには、中間値の定理と単調性を使うことが多く、全国的によく出題されています。Focus Goldにも載っています。したがって示せます。

(2)
(1)をどのように解くかにもよりますが、(1)の考察から明らかだった人も多かったと思われます。従って示せます。

(3)
まあ、このような極限を求める問題は、はさみうちでしょう。
完答は厳しいかもしれませんが、なるべく多く部分点をもらいたいです。
(2)まで正解して(3)にどれだけ食いつくけるか、だと思います。

 

第6問

『大学への数学』4月号の難易度はC。
複素数平面の問題です。
最後の問題ということもあり、(1)から、かなり出来が悪かったようです。

(1)
実係数の4次方程式なので、解の実数、虚数のパターンは限られるので、力技で論証していけばいいですが、実戦的には難しいかもしれません。

(2)(3)
ただでさえ文字がたくさん登場する問題ですが、さらに、虚数解をp+qiなどと置く勇気があれば議論が進みそうです。
検討する価値はある問題だと思います。

 

東京大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 2019年の難易度はBBCCCCでした。
 第1問、第2問、第4問(1)、第5問(1)(2)を正解し、あとは部分点を集めるという方針で、合格者平均あたりに達すると思います。

 そのためには、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大丈夫です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年東京大学文系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

東京大学新聞2018年9月11日号の調査によると、合格者の平均点は80点満点中
文Ⅰ 52.8点
文Ⅱ 55.4点
文Ⅲ 48.1点
ほどだったようです。
サンプル数は文系全体で164人、ウェブ上のアンケートとのことです。

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。

(1)
点と直線の距離の和の最小値の問題です。
問題文にしたがって式を立て、ゴリゴリやれば解けそうです。

(2)
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。
文字ばかりで抽象的ですが、px+qy≦0をyについて解こう、と思うのは自然で、そうするとqの正負または0を考えるのも自然で、(1)の結果も使うと、完答またはそれに近い点数も狙えるのではないかと思います。

(2)でどれだけ部分点を取れるか、だと思います。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
整数と数列の融合問題、でしょうか。

(1)(2)
ゴリゴリやるだけなので、解けます。

(3)
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。
(1)、(2)を誘導と見て、必要条件で絞り込んであとは力技で調べればいいので、解けます。
必要条件で絞り込んで力技で調べる技法は、整数問題ではよくある話で、『Focus Gold』(啓林館)あたりにも載っています。
整数はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、何らかの補強をしたほうがいいです。大学受験塾チーム番町では、整数問題集を渡しております。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
微分の問題です。

(1)
文字定数aを含む3次関数が単調に増加するためのaの条件を求める問題です。
第一次導関数が0以上になることを示せばいいというのは、枠組みは教科書レベルと言えます。問題としても、Focus Goldあたりには、類題が載っているので、解けます。

(2)
三次方程式の実数解の個数を、定数を分離して、三次関数と定数関数の共有点の個数で考える問題は、基本形は教科書にあり、本問のレベルの問題も『Focus Gold』(啓林館)や入試標準問題集には載っている話です。
最後に座標平面上に図示させるあたりが東大らしいですね。
完答すべきです。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。

(1)
問題文にベクトルの式がありますが、文末にも「軌跡を求めよ」とあるように、ベクトルというよりは軌跡の問題です。この媒介変数を消去する軌跡の問題は、Focus Goldあたりには載っているので解けます。

(2)
ベクトルで表された点Sの通過領域を図示し、面積を求める問題です。

本問も(1)は誘導で、「同じようにやれば解けますよ」という意図なのだと思います。(1)同様、媒介変数を消去する軌跡、領域の問題として考え、図示し、積分して面積を求めれば解けるでしょう。
完答すべきです。

 

東京大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度がCBBBということで、合格者平均は50点前後と高くなったと思われます。
 ただ、上記のように、教科書を理解して、『Focus Gold』(啓林館)あたりをマスターして、入試標準問題演習をすれば、70点ほどは取れそうです。
 「合格者」の平均が50点前後ですから、それより低い点数でも合格する、ということですね。

東大入試のレベルもその程度だということです。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年東京大学理系数学:年度別難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

東京大学新聞2018年9月11日号の調査によると、合格者の平均点は120点満点中
理Ⅰ 70.1点
理Ⅱ 52.3点
理Ⅲ 81.7点
ほどだったようです。
サンプル数は理系全体で111人、ウェブ上のアンケートとのことです。

 

第1問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
数3の微分、極限の問題です。

微分して増減表を書こうとするわけですが、その過程で増減表を書けるようにsin、cosを含む式の変形に一工夫必要です。
完答したいところですが、つまる人もいるかと思います。

 

第2問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
整数と数列の融合問題です。

(1)
まあ、既約分数なので、互いに素の話をするのかな、と思えば、互除法を使おうかなという話は、Focus Goldあたりには載っているので、解けます。

(2)
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。
また、整数問題や数列など、とびとびの値しか取らない(離散的といいます)問題は、いくつか具体的にやってみるのが大切な場合が多いです。Focus Goldあたりも載っています。本問も以上の考え方くらいで、完答も可能かと思います。
文系の第2問は類題なので、こちらも検討するといいでしょう。
整数はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、何らかの補強をしたほうがいいです。大学受験塾チーム番町では、整数問題集を渡しております。

 

第3問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
文系第4問を難しくした問題です。やはり、問題文にベクトルの式がありますが、むしろ、軌跡、領域の問題です

媒介変数を消去する軌跡の技法でいけますが、文系第4問と異なり、問題文に「軌跡」の文言がないので、そうできたか、という問題があります。一方、問題で与えられたベクトルの式を図形的に読み取っても解けます。
あとは、面積を求める式が違ってきそうな場合で場合分けするのもいいと思います。最後の極限も簡単です。したがって解けます。
完答すべきです。

 

第4問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
文系の第3問から(1)を抜いた問題です。

三次方程式の実数解の個数を、定数を分離して、三次関数と定数関数の共有点の個数で考える問題は、基本形は教科書にあり、本問のレベルの問題も『Focus Gold』(啓林館)や入試標準問題集には載っている話です。
最後に座標平面上に図示させるあたりが東大らしいですね。
完答すべきです。

 

第5問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
複素数平面の問題。
『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌には「部分点さえも取りにくい」というコメントがあります。

(1)
複素数zの絶対値は1なので、z×(zバー)=1を使う問題はFocus Goldあたりに載っています。
複素数zの実部が(z+zバー)/2であるのも、Focus Goldあたりには載っています。本問は単位円なので、cosθ=(z+zバー)/2です。点Qが点Aと円の接線と対称という式も立ちそうです。これらで、理論的には解けますが、実戦的には難しいかもしれません。

(2)
(1)ができれば、Focus Goldレベルの複素数平面の軌跡の話だと思います。

 

第6問

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
最後は積分の問題。

(1)
切り口が円になるような設定は『Focus Gold』(啓林館)あたりの積分に何問か載っています。
そのような問題で慣れているとスムーズにできるのではないでしょうか。

(2)
大学受験数学において、このような小問集は、上の小問が誘導ではないかと考えることが大切です。それで解けます。

(3)
状況を把握できれば、Focus Goldあたりに載っている、例の3つの集合のベン図の話でいけます。

(4)
切り口の面積を積分する問題は、『Focus Gold』(啓林館)にも何問も載っています。
ここまで来られたならば、できるでしょう。
ただ、最後の第6問ということもあり、レポートなどによると、出来はそれほど良くなかったようです。

 

東京大学理系数学傾向と対策と勉強法

 合格者平均点は、理Ⅰと理Ⅱの差がちょっと大きすぎるように感じるので、データがちょっとどうなのかな、という気もしますが、『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はBCBBDCなので、教科書を理解して、『Focus Gold』(啓林館)あたりをマスターして、入試標準問題演習をすれば、少なくとも60点+部分点で理Ⅰの合格者平均の70点は取れると思います。
 『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌には、「数学が得意な人と理Ⅲを受ける人は~、そうでない人は6割(72点)程度が目安」というコメントがあります。
 理Ⅰの合格者平均点が本当に70点ほどだったとすると、『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌は合格者平均点以上の点数を目安だと言っていることになりますね。数学マニア向け(?)の本なので、コメントのレベルも高くなりがちなのだとは思いますが。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

東大教師が新入生にすすめる本(文春新書)

東大脳の作り方(平凡社新書)

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2024】京都大学文系・理系数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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【2024】京都大学文系・理系数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

京都大学入試の数学で悩んでいる人へ

 京都大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、京都大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、京都大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

京都大学入試における数学の重要性

 京都大学二次試験の数学の配点は、法学部、経済学部が150/550。総合人間学部文系が200/650。文学部が100/500。教育学部文系が150/650です。
 数学という科目の特殊性として、たとえば、京都大学文系数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、まず無理といえます。
 このあたりからも、数学の出来不出来の波をなるべく小さくすることが、安定して合格点を取るために、非常に大切であることがわかると思います。

 

京都大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 京都大学文系数学は、大問ごとの難易度の差が激しいことが多いです。特に、京都大学文系の場合、びっくりするほど簡単な問題を出すことがあります。一方で、京都大学らしい、個性的な難しい問題も出ます。
 解けなそうな問題を見た時に、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査しています。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問1

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
京大でよく出題される、四面体の問題です。ただし、本問は、ベクトルで行くと見通しが悪そうです。本問は、空間座標で考えると、見通しがいいです。
あとは、問題文で与えられた条件で式を立てて、ゴリゴリ計算すればいいので、解けると言えば解けます。一方、典型技法の組み合わせ、といった感じでもなく、まず、空間座標を設定するところでつまづくと、かなり苦しくなります。難易度Bですが、取り組みにくいと思った人も多かったかもしれません。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
立方体を辺を共有する面を違う色で塗り分ける問題です。
Focus Goldあたりの場合の数のところには、まず載っているような問題です。ただ、私大医学部あたりでよく出る問題という印象でした。京大で出ましたね。

(1)
3色で塗り分ける問題です。
上記のように、立方体などの塗り分け問題の経験があれば、やや見通しが良かったかもしれませんが、初見でも難しくないでしょう。

(2)
4色用意した時に塗り分ける問題です。
本問もそれほど難しくなく、「場合の数」「確率」が弱い、チャート式、Focus Goldあたりだけでも行けるでしょうし、もう少し「場合の数」「確率」を補強していれば、問題なく解けるとお思います。
完答しましょう。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 京都大学文系の数学は、大問5問、試験時間120分。微分積分、確率、整数、ベクトル(特に四面体)がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。合否を分ける基本的な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。あとは、一橋大学の過去問が似ていることが多いので対策に使えます。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 微分積分は取り組みやすいことが多いです。ただ、やはり、文字aなどを含み、場合分けをする、といったことを求められることが多いです。Focus Goldの技法を完璧にし、『文系数学良問のプラチカ』をで対策をしたいです。

 かなり出題傾向にクセがあるので、過去問集である『京大の文系数学27カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 答案の書き方、論証のしかた、については、日頃から、教科書、Focus Goldあたりの答案をマネすることを心がければ、問題ないと思います。
 「問題の構造を捉える力」が必要、などと難しいことを言っている人がいますが、京大入試程度で小難しいことを言っている人は、全員、偽物だと思ったほうがいいです。当サイトで分析しているように、教科書の理解と、Focus Goldの「あの技法を使えばいい」といった思考で、合格点を大きく上回ると思います。これは意見ではなく、当サイトで示している事実です。
 したがって、最強の京大対策は「学校と並行して、学校採用問題集(Focus Goldあたりは、どれもほぼ収録問題が変わらない)をひたすらマスター」し、京大を中心に、合否を分けるレベルあたりを中心に、入試問題演習をする、ということになります(上記のように、確率、整数は補強が必要)。

 京都大学文系数学は、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2023年も大問1(1)、大問3(1)などはそうです。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 その他の問題も、大問1(2)、大問3(2)以外は、教科書を理解し、チャート式やFocus Goldなどで受験によく出る技法をマスターしていれば、見た目から、それらを使いこなせれば解ける問題であろうとわかりそうで、実際解けます。他の受験生に大きく差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 夏と秋の河合塾さんと駿台さんの京大模試は受けたほうがいいでしょう。

 

京都大学文系数学オススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの京都大学に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、京大レベルの成績になっているはずです。

 京大文系入試対策としては『合格る確率』、整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、『京大の数学27カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。『京大の文系数学27カ年』の前に『世界一わかりやすい京大文系数学』(KADOKAWA)をはさむと、解説が分かりやすく、着眼点なども書いてあるので、いいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『世界一わかりやすい京大文系数学』、『京大の文系数学27カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような考え方で解ける問題が出るかもしれません。

 

 

2023年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
「サイコロをn回投げた時の積が5で割り切れる確率」という超有名問題です。5の倍数ということは「少なくとも5が1回出る」ということです。「少なくとも」という文言を見たら、余事象を取りますね。
難易度Aの問題は、他の上位国立大学ではなかなか出ませんが、京大は結構出るので気をつけましょう。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
3乗根を含む分数の分母を有理化する問題です。以外に難しいので、できなかった人が多かったでしょう。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
京大でおなじみの四面体とベクトルの問題です。
Focus Goldに載っている、1次独立→係数比較、または、平面◯△▢上にあるから係数を足して1といった技法で求まります。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。

(1)
cos2θをcosθの式で表すのは、倍角の公式そのものです。
cos3θをcosθの式で表すのは、3倍角の公式の証明は、数研出版の教科書には問題として載っています。したがって正解できます。

(2)
「半径1の円に内接する正五角形の1辺の長さが1.15より大きいか否かを理由を付けて判定せよ」という問題です。
東大理Ⅲ御用達の『入試数学の掌握』(エール出版社)という本があります。この本の<鉄則>に「内接多角形の辺長を表すときは、外接円の半径をR、中心角を2θと置いて、正弦定理を使う。余弦定理だと根号の処理に困る。」といった旨が書いてあります。そんな感じで証明できますが、本書は、並の京大文系受験生にはオーバーワークで、あまり読んでないでしょう。予備校などで教わっていれば証明できるか、というところかと思います。
以前、東大で、円周率が3.05より大きいことの証明が出題されましたが、本問はそれを彷彿させますね。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数列{an}の一般項を求める問題で、和Sn、an、nを含む類型です。
基本形はFocus Goldあたりには載っていて、同じように漸化式を立てれば解けます。
その漸化式が、少しだけ複雑ですが、階差数列に持ち込んだあと、(等差数列)×(等比数列)型の和という、教科書レベルの組み合わせで解けます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
見た目複雑ですが、見た目からもわかるように、数Ⅱの教科書の積分に載っている「定積分は定数と置け」を使い、同じ方針でゴリゴリ計算すれば解けます。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 京都大学文系数学は、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2023年も大問1(1)、大問3(1)などはそうです。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 その他の問題も、大問1(2)、大問3(2)以外は、教科書を理解し、チャート式やFocus Goldなどで受験によく出る技法をマスターしていれば、見た目から、それらを使いこなせれば解ける問題であろうとわかりそうで、実際解けます。他の受験生に大きく差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2023年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
月刊『大学への数学』誌の難易度はA。
定積分の計算をするだけの問題です。
そのまま部分積分をしても行けます。教科書通り、面倒くさそうな部分を置換してから部分積分をしてもいいでしょう。
難易度Aの問題は、他の上位国立大学ではなかなか出ませんが、京大は結構出るので気をつけましょう。

(2)
月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
整式の割り算の余りを求める問題です。
ただ、教科書、チャート式、Focus Goldあたりの整式の割り算に載っているようなやり方では、うまくいきません。
一方、むしろ、複素数平面の分野でxn-1の因数分解は頻出で、チャート式、Focus Goldあたりには載っていますから、それを使おうと思えば、そう難しくなく解けると思います。

 

大問2

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
京大で頻出の空間ベクトル、四面体の問題です。
空間の2ベクトルが交点を持つ話はFocus Goldあたりには載っており、それよりは、少しだけ式が複雑になりますが、方針としては、全く同じようにやれば解けます。

 

大問3

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
文系大問1(1)と同じ問題なので省略します。

(2)
サイコロをn回投げて積が15の倍数になる確率です。
確率の分野は、チャート式やFocus Goldあたりは弱いので、大学受験塾チーム番町では、『合格る確率』(文英堂)を使用しています。ほぼ同じように解く問題が載っているので、解けます。

 

大問4

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の微分の最大最小の問題です。

そういえば、数3の微分では、あまり使わないような気がしますが、数2の三角、指数、対数関数あたりの最大最小では、=tと置き換える問題は普通で、本問も、明らかに同じ式が2つありますから、=tと置けば、あとは、数3の微分の標準的な最大最小の問題に帰着され、解けます。

 

大問5

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。
結局は、数3の積分の回転体の体積の問題です。
結局は回転体で考えるのだから、点QはZ軸上に設定すればいいのですが、まず、問題文から図形を把握した時に、そう思えるかが難しいと思います。
後半の積分の回転体の体積については、Focus Goldが非常に充実しており、あのあたりの問題をマスターしていれば、なんとか求まると思いますが、ここでも、通過範囲を確定させるのにひとひねりありますし、先述のように、そこに持ち込むのも大変かなと思います。

 

大問6

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。

(1)
cos3θとcos4θをcosθで表す問題です。
文系大問3(1)で似たような問題が出ています。
3θは、理系なら積分で使いますし、数2の教科書の加法定理のところでも、問題として載っています。4θは2θの倍角なのでcosだけで表せることはすぐわかり、解けます。

(2)
まあ、存在、不存在を示すので、背理法でやってみたくなるのは教科書レベルです。
あとは、(1)とその前の2倍角から規則性を見つけて、帰納法でやってくれということだと思いますが、ちょっと思いつかないと思います。このあたりまで書いて、部分点狙いで十分なのではないでしょうか。

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 京都大学理系の数学は、大問6問、試験時間150分。微分積分、確率、整数、ベクトル(特に四面体)がよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。合否を分ける基本的な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。2023年の大問3は、ほぼ同じ問題が収録されています。あとは、一橋大学の過去問が似ていることが多いので対策に使えます。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 数3の微分積分の基本技法はFocus Goldがかなり優れています。あとは、それを使いこなせるよう、入試問題演習をすればいいと思います。

 かなり出題傾向にクセがあるので、過去問集である『京大の理系数学27カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 答案の書き方、論証のしかた、については、日頃から、教科書、Focus Goldあたりの答案をマネすることを心がければ、問題ないと思います。
 「問題の構造を捉える力」が必要、などと難しいことを言っている人がいますが、京大入試程度で小難しいことを言っている人は、全員、偽物だと思ったほうがいいです。当サイトで分析しているように、教科書の理解と、Focus Goldの「あの技法を使えばいい」といった思考で、合格点を大きく上回ると思います。これは意見ではなく、当サイトで示している事実です。
 したがって、最強の京大対策は「学校と並行して、学校採用問題集(Focus Goldあたりは、どれもほぼ収録問題が変わらない)をひたすらマスター」し、京大を中心に、合否を分けるレベルあたりを中心に、入試問題演習をする、ということになります(上記のように、確率、整数は補強が必要)。

 京都大学理系数学でも、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2023年も大問1(1)などはそうです。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 その他の問題も、大問2、4、6(1)は、教科書を理解し、チャート式やFocus Goldなどで受験によく出る技法をマスターしていれば、見た目から、それらを使いこなせれば解ける問題であろうとわかりそうで、実際解けます。他の受験生に大きく差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 夏と秋の河合塾さんと駿台さんの京大模試は受けたほうがいいでしょう。

 

京都大学理系数学オススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの京都大学に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、京大レベルの成績になっているはずです。

 京大文系入試対策としては『合格る確率』、整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、『京大の理系数学27カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。『京大の理系数学27カ年』の前に『世界一わかりやすい京大理系数学』(KADOKAWA)をはさむと、解説が分かりやすく、着眼点なども書いてあるので、いいかと思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『世界一わかりやすい京大理系数学』、『京大の数学27カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような考え方で解ける問題が出るかもしれません。

 

 

2021年京都大学文系数学 :難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。

10進法の6.75を2進法で表す。その答と2進法の小数のかけ算。さらに、その答を4進法で表すという、全体として教科書レベルの問題なので、正解できます。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
三角形の2辺の長さと挟む角が与えられ、垂心のベクトルを求めるという、チャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには、数値が違うだけの問題が載っていそうな問題なので、解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
絶対値つきの定積分の問題です。教科書レベルと言え、正解できます。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
確率の問題です。
いわゆる確率漸化式に帰着できれば見通しがいいですが、意外に、難しいかもしれません。
他の問題や、試験時間との兼ね合いから、手つかずでも合格点でしょう。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
座標空間上の直方体の切断面の平行四辺形の面積を求める問題です。
教科書などのベクトルのところに、ベクトルを使った三角形の面積の式が載っていますが、平行四辺形の面積は三角形の2倍なので、それを使うと早そうです。
面積の最小値は二次関数の最小に帰着されます。
したがって完答できます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
「pが素数ならばp4+14は素数でないことを示せ」という整数問題です。
整数や数列のように、とびとびの値しか取らない(離散的といいます)問題は、具体的にやってみることが大切なことが多いです。本問も、p=2,3,5とやってみるとうまくいきます。
その後、合同式を使いこなせると、かなり簡単で、完答できます。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 2021年の難易度はAA/ACBBでした。京大文系数学は、びっくりするほど簡単な出題をする年があります。2021年もそのような問題が多かった印象です。それで十分点差がついているということでしょうし、数学の実質配点を上げたければ、見栄を張った、全員が解けないような出題を減らし、ちょうど点差が着くレベルの出題を増やすことになります。
 このような年に対応するためには、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大丈夫です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2021年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
空間座標上の平面に対し、対称な点を求める問題です。似たような問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っているので解けます。垂線の足が平面上にあるので、例の係数を足して1。内積0が2回使える。これで定まります。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
確率の問題です。色のついた玉を取り出す問題ですが、基本形にあるのは、チャート式やFocus Gold(啓林館)あたりに載っている「A、Bの2部屋に分けるが空室があってはならない」という問題です。玉の種類が4種類ですが、考え方は同じで、この程度の出題も、過去に他大であったので、解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
放物線の接点と接線のx切片の距離の最小値を求める問題です。素直に式を立ててゴリゴリ進めれば解けます。外見は数Ⅱチックですが、途中、数Ⅲの微分が必要になります。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
ただし、予備校さんによっては、やや難などとなっているようです。たしかに、後半はきついような気がします。
形から見て、極形式にすると見通しがいいのはいいでしょう。その極形式の実部の話なので、共役どうしを足して2で割ると実部、というFocus Goldあたりに載っている話を使ってもいいでしょう。途中までで合格点でしょう。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
曲線の長さの問題です。教科書どおりに曲線の長さを求めに行きますが、途中の積分が少しだけ難しい、といった程度なので、完答できます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。

(1)
三角形の外心の座標を求める問題です。
外心は各辺の垂直二等分線の交点であることを考えると、あっさり出ます。

(2)
三角形の垂心の軌跡を求める問題です。
『Focus Gold』などのベクトルのところには、垂心の問題が載っていて、同様に、内積0を使えば解けます。軌跡についても、チャート式や『Focus Gold』レベルのことをマスターすれば、本問もどのように解き進めればいいかはわかるでしょう。

 

大問6

(1)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
素数が絡む整数の証明問題です。
問題文から、対偶あるいは背理法を使うのはいいでしょう。このような問題でn乗を見たら、2項展開するのは、わりとある話です。過程は色々ありそうですが、なんとか証明できるでしょう。

(2)
『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はD。
難しいので、手つかずでも合格点でしょう。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 2021年の難易度はBB/BBBB/BDでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、少し入試標準問題に慣れれば、大問3後半、大問6(2)以外は完答でき、十分、他の受験生に差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

問1
『大学への数学』4月号の難易度はA。
整式の割り算の問題です。
実際に割り算を実行してaの値を定めるだけです。
完答すべきです。

問2
『大学への数学』4月号の難易度はC。
対数で「何桁?」と「最高位の数字」は教科書やチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりには載っていますが、「最高位からの2桁の数字」というところに、ひとひねりあります。
「最高位の数字」の解き方を根本から理解していれば、完答できるでしょう。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はB。
2次関数の最小値の問題です。
絶対値がついているのはまだいいとして、文字がa、bと2文字あり、かなり抽象度が高い問題です。
大問1の問2の「最高位からの2桁の数字」もそうですが、典型問題からひとひねりするだけで、受験生が丸暗記ではなく根本から理解しているかを問える、合否を分けるレベルのいい問題になると思います。
場合分けは、3次関数に文字が入った問題を参考にすると「極値と区間の位置関係」ですが、「グラフとx軸との交点の位置関係」で場合分けしてもいいでしょう。
最小値のグラフを書く部分もこのあたりではありがちで、Focus Gold(啓林館)では節末問題に載っています。
完答すべきです。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
これもax2+bx+cとかなり抽象度が高い問題です。
まず2次の係数がaなので、aの0、正、負で場合分けするような問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
あとは、題意を把握できれば完答できるのではないでしょうか。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はC。
さいころをn回振って、1回だけ目が4以下から5以上に切り替わる確率の問題。
理系大問4と共通問題です。
本問を一段階簡単にしたような問題は入試標準問題集などにはよく載っていると思います。
本問は∑を2回使うような模範解答が見られますが、まあ、問題の状況を把握して丁寧にやっていけば完答も狙えると思います。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
半径1の球面上の5点がつくる、底面が正方形の四角錐の体積の最大値の問題。
理系大問5と共通問題です。

球で中心に注目する問題はFocus Gold(啓林館)の空間ベクトルのところに載っています。
完答すべきですし、図形問題として検討する価値が高いと思います。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 2019年の難易度はAC/BCCBでした。典型問題にひとひねり加えて、典型問題を丸暗記ではなく根本から理解しているかを問うような出題が目立ったと思います。
 特に、大問2,大問3は抽象度の高い話を適切に処理できるかが問われていました。
 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、それらを丸暗記ではなく根本から理解した上で、入試標準問題演習をすれば、時間が許せば、満点に近い点数も狙えたと思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2019年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

問1
『大学への数学』4月号の難易度はC。
cosθは有理数ではないがcos2θとcos3θがともに有理数となるようなθの値を求める問題。
京大らしい出題ですね。
ちょっと、教科書や学校採用教材などでは見ない類型の発想が必要で、「やや易」などとしている予備校さんもあるようですが、意外に出来は悪かったのではないでしょうか。
直感的にπ/6というのはわかっても、答案として論理的かどうか。
まあ、3θがあるので3倍角の公式を使ってみるものでしょう。
2θがあるので倍角の公式も使ってみるものでしょう。
その後、論理的に示せるかどうかでしょうか。

問2
『大学への数学』4月号の難易度はB。
定積分をするだけの問題です。

(1)
tanxの微分が1/cos2xなので、そこから部分積分に持ち込むのは気づきたいです。
その後のtanxの積分は数研出版の教科書には載っています。
積分は「この類型はこう積分する」というのをパッと見えるようにするトレーニングが大切です。
(2)
定積分ではなく、不定積分ですが、全く同じ関数の問題が数研出版の教科書には載っています。
また、大学受験塾チーム番町で「この類型はこう積分するというのをパッと見えるようにするトレーニング」に使っている、Focus Gold(啓林館)のコラム「ひと目で分かる不定積分」にも、全く同じ関数が載っています。
完答すべきです。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はB。
整数問題です。
整数問題を見たときになにを考えればいいか?という投稿の『「素数」という文言を見たら…』の欄にも書きましたが、偶数の素数は2のみです。
これが使えます。
その後、必要条件で絞り込んで、あとは力技で調べていく技法はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
完答すべきですし、検討する価値が高い整数問題でしょう。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、整数は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
「t:1-tに内分」といった文言から、ベクトルを使おうかな、とは思えるのではないでしょうか。

あとは、座標を設定して、教科書にも載っている媒介変数表示された図形の面積を求める方針でいけば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はC。
さいころをn回振って、1回だけ目が4以下から5以上に切り替わる確率の問題。
文系大問4と共通問題です。
本問を一段階簡単にしたような問題は入試標準問題集などにはよく載っていると思います。
本問は∑を2回使うような模範解答が見られますが、まあ、問題の状況を把握して丁寧にやっていけば完答も狙えると思います。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
半径1の球面上の5点がつくる、底面が正方形の四角錐の体積の最大値の問題。
文系大問5と共通問題です。

球で中心に注目する問題はFocus Gold(啓林館)の空間ベクトルのところに載っています。
完答すべきですし、図形問題として検討する価値が高いと思います。

 

大問6

『大学への数学』4月号の難易度はB。
複素数で常用対数表を使う問題。
n乗があるので極形式にするのはいいでしょう。
あとは、ためしに具体的にnに値を代入して調べてみて、答案では一般性のある議論をすれば解けると思います。
完答すべきです。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 2019年の難易度はCB/BCCBBでした。大問1の問1だけは、ちょっと発想が必要だと思いますが、その他は、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、ほぼ解けると思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年京都大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
共通接線の話は、『Focus Gold』(啓林館)あたりにはまず載っています。
計算は少し大変そうです。
理系の大問1も共通接線の問題でした。
完答すべきです。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
三角比、三角関数と微分の融合問題です。

(1)
QRを求めることと∠BAPを使うことから逆算して頑張れば解けると思います。
図形の入試標準問題に慣れておいたほうがいいでしょう。

(2)
(1)ができれば普通の微分の問題です。
完答すべきです。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
整数問題です。
理系の大問2と共通問題です。

整数や数列のように、とびとびの値しか取らない(離散的といいます)問題は、具体的にやってみることが大切なことが多いです。本問も具体的にn=1、2、3…とやってみて、あたりをつけるのが定石でしょう。そうすれば方針が見えると思います。
完答すべきです。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、整数は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
四面体の問題。
理系大問6と共通問題です。

(1)
垂直を示す問題。
ベクトルでも初等幾何でもいいでしょう。
四面体の線分の垂直をベクトルで証明する問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりには載っています。

(2)
ちょっと思いつきにくいと思います。
合格には(1)ができればいいと思います。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
確率の問題。
Xnが最大と最小になる場合とそれからいくつかを具体的にやってみて、問題を把握すると、確率の入試標準レベルの問題になると思います。
完答も狙えるでしょう。
大問3でも述べましたが、nを含んでよくわからない問題は、具体的にやってみることが大切です。

大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

京都大学文系数学の傾向と対策と勉強法

 教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、上記のように、3~4完+部分点が狙えます。
合格点を大きく上回るでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年京都大学理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。

(1)
共通接線の話は、『Focus Gold』(啓林館)あたりには載っているので解けます。
文系の大問1も共通接線の問題でした。

(2)
軌跡、領域の問題。
原型になるような問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりにはまず載っていますし、このくらいちょっといろいろやる程度の問題も入試標準問題集には載っているでしょう。
完答すべきです。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
文系の大問3と共通問題です。整数問題です。

具体的にn=1、2、3…とやってみて、あたりをつけるのが定石でしょう。
そうすれば方針が見えると思います。
完答すべきです。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
半径1の円に内接する等脚台形の4辺の積の最大を考える問題。

まあ、半径1を使うために、円の中心から頂点に補助線を引くものでしょう。
図形問題で最大最小を考えるときは、角をθとおく選択肢を常に頭においておきましょう。
このくらいで、4辺の積を三角関数の最大値に帰着できそうだな、と思えれば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
複素数平面と確率と漸化式の融合問題です。

複素数平面の図形的な読み取りは教科書基本レベルで、確率と漸化式の部分も入試標準問題集ではよくあるような話です。
完答すべきです。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
微分、積分、弧長の問題。
(1)
ゴリゴリやれば出るでしょう。
(2)
ちょっと計算の途中の工夫が大変かもしれません。

 

大問6

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
四面体の問題。
文系大問4と共通問題です。

(1)
垂直を示す問題。
ベクトルでも初等幾何でもいいでしょう。
四面体の線分の垂直をベクトルで証明する問題は『Focus Gold』(啓林館)あたりには載っています。

(2)
ちょっと思いつきにくいと思います。
合格には(1)ができればいいと思います。

 

京都大学理系数学の傾向と対策と勉強法

 2018年の難易度はBBCBCDでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、上記のように、3完+(2半~1完2半)ほどが狙えると思います。合格点を大きく上回るでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2023】東京工業大学(東工大)数学 難易度推移と傾向と対策:小問で部分点を集める

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長による個別指導

東大・医学部受験の数学の勉強法

東京大学文系・理系数学

京都大学文系・理系数学

早稲田大学理工系数学

慶應義塾大学理工学部数学

 

【2023】東京工業大学(東工大)数学 難易度推移と傾向と対策:小問で部分点を集める

 

東京工業大学入試の数学で悩んでいる人へ

 東京工業大学数学が難しすぎて、大問を全く完答できない。また、どのくらいが合格レベルかが全くわからずに、悩んでいませんか?
 実は、東京工業大学の数学は、月刊『大学への数学』誌の難易度でCの大問が多く、これは、東大の成績開示なども見ると、並の東大理系合格者くらいでは、完答できない人が多いことを表しています。1つの大問全体を完答できている人は、あまりいないということです。
 この記事を読むと、東京工業大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、どのような教材をマスターすればいいのか、などを知ることができます。

 

東工大入試における数学の重要性

 東工大の数学の配点は300/750です。非常に配点が高く、東工大入試の最重要科目であることがわかります。試験時間は180分です。
 また、数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいといえます。
 以上より、東工大入試における数学の重要性がわかると思います。

 

東工大数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 大学入試の数学は、物理、化学と異なり、大問ごとの難易度の波が激しいことが多いです。東工大でも、並の合格者程度では、まあ解けないだろう、という問題もよく出ます。特に東工大では、月刊『大学への数学』誌のCランクの問題が多く、これは、並の東大理系合格者程度では、完答できないことが多いことを表しています。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年東京工業大学合格への数学得点戦略

 令和6年度(2024年)一般選抜(前期日程)合格者学院別得点は、以下のようでした。

学院 合格最低点
理学院 420
工学院 391
物質理工学院 379
情報理工学院 435
生命理工学院 370
環境・社会理工学院 383

東工大のサイトより引用

 情報理工学院だけ、異常に合格最低点が高いのは、いわゆるGAFAMあたりが高給を出すような社会情勢において、東大はハイレベルな進振りに勝ち抜かないと、情報系に進学できないからではないか、と言われています。したがって、情報理工学院は、とりあえず置いておきます。

 他学院は750点満点中、5割前後の得点で合格できることがわかります。2023年より全体的に合格最低点が上がった傾向があります。
 ここで、大学受験全体の傾向を述べますと、物理、化学は、基本を理解して、問題集を解けるようにすれば、入試ではかなりの高得点を取れるようになります。英語も、ちゃんと勉強すれば、高得点を狙える科目です。
 一方で、数学は、大問ごとの難易度の波が大きく、ある程度入りやすいと言われる大学でも、並の東大合格者程度では解けない、月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が出題されます。
 そして、東工大の数学は、異常に月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が多く、完答をできている人はかなり少ない、ということがわかります。
 したがって、東工大の合格レベルに達していない人がまず目指すべきなのは、数学は5割を少し切る程度。そして、英語、物理、化学の網羅度を高め、高得点を目指す、ということになりそうです。

 

東工大数学、他サイトへの疑問

 たしかに、東工大の配点は、数学が300/750と、数学の配点が非常に高いです。したがって、安直に「数学で高得点を狙おう!」のようなことを書いてあるサイトが散見されます。
 しかし、上記のように、東工大の数学は、並の東大合格者程度には、客観的に難しいことがわかっています。そのような入試の数学で、どうやって高得点を取るのですか?

 

東工大数学は0完でも合格できる?

 上記のように、東工大入試の数学は、月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が非常に多いです。C問題は、東大理系の合格者平均あたりの人では、完答できていない場合が多いことが、東大の成績開示と、かつて東大新聞が調査していた合格者平均から読み取れます。
 したがって、年度によっても異なりますが、ほとんどがC問題のような年度は、0完でも合格できる可能性は高いと言えます。
 ただし、C問題でも、B問題レベルまでの部分点をかき集めることは必要です。

 

東工大数学は難しすぎる?

 くり返しますが、東工大入試の数学は、月刊『大学への数学』誌のCレベルの問題が非常に多いです。C問題は、東大理系の合格者平均あたりの人では、完答できていない場合が多いことが、東大の成績開示と、かつて東大新聞が調査していた合格者平均から読み取れます。
 したがって、東工大の合格者も、年度によって異なりますが、ほとんどの大問を完答できていないと思われます。
 これは、難しすぎる、と言うことができるのではないかと思います。
 多数派から見れば、ほとんどの人に解けない部分が多い、ということは、数学の実質配点が低くなっている、ということです。出来、不出来がちょうど分かれるレベルの問題を並べたときに、実質配点は最も高くなる、と言えますね。
 一方で、数学だけずば抜けてできるような受験生を入学させたい、と思ったときに、東工大のような、難しすぎる出題戦略は有効かもしれません。多数派は低い点数にとどまりますが、数学がずば抜けてできる受験生は高得点を取り、大きく差をつける。
 もしかすると、このような事情があるかもしれません。

 

 

2023年東京工業大学数学:難易度推移、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査しています。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析
します。

 

大問1

『大学への数学』誌の難易度はC。
ある関数の0から2023までの定積分の整数部分を求める問題です。

直接的には、チャート式やFocus Goldあたりには、類題がないので、ほぼ白紙だった人も多いかと思います。一方、はさみうちの原理などで、似たような操作をするので、ある程度部分点を取れた人もいたかと思います。
はさみうちの原理と同じように考えて、2/exという関数を定積分すると、2より小ということはわかります。このあたりで十分合格ラインかと思います。1より大を示すのは、実戦的には難しいと思います。

 

大問2

『大学への数学』誌の難易度はC。
整数問題です。

整数問題のセオリー通り、左辺は因数分解できるだけして、右辺は素因数分解をできるだけします。
類題は各大学の、過去問あたりに、いくらでもありますが、左辺の式が複雑なのと、右辺の数が大きいことが、難度を高くしていると思います。類題を参考に、絞り込んだり、表を書いたりすれば、理論的には完答できますが、実戦的には難しいかもしれません。

 

大問3

『大学への数学』誌の難易度はC。
複素数平面と確率の融合問題です。
東工大では、複素数平面は頻出で2022年は2題も出ています。一方、確率は、なぜか近年出題されておらず、2018年以来の出題となりました。(確率は他大では頻出です。)

(1)
本問のメカニズムを理解すると『合格る確率』(文英堂)あたりの類題に帰着されます。「サイコロをn回投げた積が◯の倍数」といった問題に近いです。チャート式やFocus Goldでは、上位国立大学の確率は弱いです。京大、一橋あたりで、類題がよく出るイメージです。このあたりをマスターしていれば、スムーズに完答できるでしょう。

(2)
本問も、メカニズムを理解すれば、易しめの確率漸化式になります。この大問3は、難易度はCがついていますが、きちんと受験勉強をしていれば、完答は比較的しやすいのではないかと思います。

 

大問4

『大学への数学』誌の難易度はC。
数3の積分の体積の問題です。

直交する円柱の共通部分の体積の問題、それにひとひねりある問題はFocus Goldあたりには載っています。本問の状況は似ていて、同じように考えれば解けます。
ちなみに、塾長が、Focus Goldを採用している理由の1つは、数3の積分の体積のこのあたりの問題のバリエーションと、例題と問題の対応が素晴らしく、生徒をスムーズに、本問のレベルに連れて行けるから、です。
本問は、決して簡単ではありませんが、Focus Goldの体積の問題を完璧にマスターしていれば、十分完答は可能と言えます。

 

大問5

『大学への数学』誌の難易度はC。
空間ベクトルの問題です。

(1)
難しいと思います。
正射影ベクトルを使って求めている模範解答が多いようです。
たしかに「正射影ベクトル」は、チャート式やFocus Goldあたりに載っています。また、予備校などでは、テクニックとして教えていることが多いでしょう。一方、予備校などでの扱い方に比べると、意外に、上位国立大学で使うことは少ないように思います。
東大ならともかく、東工大受験生で本問で方針が立った人は少なかったのではないでしょうか。
また、答が、空間座標における「平面の方程式」になることも注意が必要です。しっかり勉強しておけ、ということですね。

(2)
(1)が誘導なわけですが、(1)からして難しいので、合格者でも、できなかった人が多かったのではないかと推測します。

 

東工大数学の傾向と対策と勉強法は?

 東工大の数学は、大問5問、試験時間180分。
 完答は難しい大問が並ぶことが多いです。2023年は、『大学への数学』誌の難易度がCCCCCでした。
難易度Cは、並の東大理系合格者程度では、完答できないことが多いことを意味します。東工大にギリギリ合格する程度の受験生ならば、なおさら完答できていないでしょう。ただし、年度にもよりますが、小問で分けられていることも多く、完答は厳しいものの、途中の小問までは、比較的取り組みやすい、という場合も多いです。
 確率は、同じ「確率」の分野でも、「共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるもの」と「上位国立大学で出題されるもの」は、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。2023年の東工大は上位国立型だったと言えます。「上位国立大学で必要な技法」は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。
 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。
 数3の微分積分はまず出ると思ったほうがいいと思います。Focus Gold数3の入試に出る技法の網羅度は、かなりのものです。の技法を完璧にし、まずはFocus Gold数3の本文の問題を全問解けるようにしましょう。

 

東工大オススメ参考書、問題集

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Goldの東工大に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、東工大レベルの成績になっているはずです。
 東工大対策としては『合格る確率』、整数対策、『理系数学良問のプラチカ1A2B』、あたりを合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや過去問の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番での対応力が向上するでしょう。

 2023年は、やはり、教科書を理解し、Focus Goldでよく出る技法をマスターし、確率と整数を補強すれば、十分、他の受験生に差をつけることができたと思います。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

他記事への疑問:『理系数学良問のプラチカ数3』?

 『理系数学良問のプラチカ数3』(河合出版)は、並の東大合格者も解けていないような問題が多いです。難易度としては、東工大入試と似ているのかもしれませんが、全体として難易度が似ている教材をこなせばいいというものではありません。大学受験数学というものは、あくまでも、簡単なほうから、どれだけ上積みできたか、で得点が決まります。特に東工大の場合、完答できる問題が少なく、部分点をどれだけ集めたかで合否が決まりますが、部分点に必要なのは、教科書、Focus Gold、確率と整数の補強、入試標準問題演習。あえて加えるなら、東工大あたりの過去問です。
 したがって、東工大受験生で『理系数学良問のプラチカ数3』に手を出していいのは、全科目ですでに合格レベルにある人が、そこからの上積みを狙うケースに限られます。ただ、そのような人は、東大を受ける場合が多い気がします。

 

 

2019年東京工業大学数学:難易度推移、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『大学への数学』4月号の難易度はB。

(1)
座標平面上の三角形の辺の長さと面積についての不等式を証明する問題。
教科書の不等式の証明の基本通り、(左辺)-(右辺)≧0を示せばOKです。
文字が3つになりますが、数研出版の教科書の不等式の証明のところには、文字が2つで、1文字に着目して平方完成する問題が載っており、同じようにやればいいでしょう。

(2)
(1)が四面体に拡張されたような問題です。
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。
本問も四面体の各面の三角形について(1)の不等式を用い、辺々加えれば示せます。
完答すべきです。

 

大問2

『大学への数学』4月号の難易度はC。
定積分を含む等式を成り立たせる関数f(x)と定数A、Bを求める問題です。

基本形は教科書にも載っています。
微積分学の基本定理(積分して微分すると元に戻る)を使えるようにするために、置換してxを∫の前に出す技法は他大でも問われています。
絶対値つき定積分を場合分けして考える問題もチャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
理論的には上記の技法を駆使して丁寧に解いていけばいいのですが、実戦的には完答は厳しいでしょう。

 

大問3

『大学への数学』4月号の難易度はC。
複素数平面の問題です。

(1)
つまり、原点からの距離と格子点の話になります。ただし、Focus Goldにのっているような、Σを使う格子点の話にはなりません。丁寧に調べていけば正解できます。

(2)
複素数を掛けるということは、極形式で考えると、拡大と回転ですから、領域を図示して、その中の格子点を丁寧に数えれば、完答も狙えるでしょう。

 

大問4

『大学への数学』4月号の難易度はD。
交わらず平行でない直線によって平面を分割する問題は、教科書の漸化式のところに載っています。
それが次元が上がって、平面で空間を分割する問題です。

(1)
教科書と同じように考えれば解けるでしょう。

(2)
問題文の例もふまえ、なるべく完答に近いところまで食いつきたいです。

(3)
そろそろ難しいでしょう。
最初のいくつかを調べて部分点を願う、くらいでしょうか。

 

大問5

『大学への数学』4月号の難易度はB。
数列と微分の融合問題です。

(1)
このような関数を2回微分して単調増加、減少を示す問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。

(2)
「確率の最大値」を考えるために第k-1項と第k項の比が1より大か小かで増減を調べる問題はチャート式やFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
本問も指数、階乗を含むので、それと同じように考えるといいでしょう。
もちろん、(1)の結論は使います。
完答すべきです。

 

東京工業大学数学の傾向と対策と勉強法

 大問1、大問5を完答し、他の問題で上記のような方針で部分点を取れば、十分、他の受験生に差をつけることが出来たでしょう。
 そのためには、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大丈夫です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年東京工業大学数学:難易度推移、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
複素数平面の問題。

(1)
同一直線上ではないときは等脚台形の4頂点で、等脚台形の4頂点が同一円周上にある、という論証は簡単だと思います。
途中は、いかにも解と係数の関係の形です。

(2)
(1)と同様の議論でゴリゴリやれば完答も狙えるでしょう。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
整数問題の不定方程式の問題。

(1)
1組求めるだけなので、35と91は7の倍数、または、91と65は13の倍数に注目して絞り込めば求まると思います。

(2)
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。
そもそも本問は、途中まで(1)と全く同じ問題文ですね。

(1)の結果を与式に代入して辺々引くのは教科書にもある話です。
以下もこの手の問題で教科書や『Focus Gold』あたりには載っている話で、そうすると完答も狙えると思います。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
ただ、予備校の分析では「標準」としているものもあります。

(1)
方程式がある領域に実数解を持たない、持つの問題。
「無限個」という問題文にビビるかもしれませんが、中間値の定理を使うケースを含め、増減表を書いて、実数解の個数を考える問題は、入試ではわりと出題されています。Focus Goldあたりにも載っています。したがって解けます。

(2)
まあ、このような極限は、はさみうちでしょう。
そのように考えると、完答、それに近い結果も得られるかもしれません。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。

(1)
空間座標の問題。
問題を把握して教科書通り内積0を使えば求まると思います。

(2)
題意を把握して計算すれば求まるのでしょうが、なかなか難しいと思います。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
確率と漸化式の問題。

(1)
普通に式を立てるだけです。Focus Goldの確率漸化式は充実しているので、このあたりをこなしていると見通しよく解けたと思います。

(2)
(1)と同様に式を立てて計算するだけです。Focus Goldの確率漸化式には、本問のように漸化式を操作するような問題も載っているので、そのような問題に経験があると、見通しよく解けたと思います。

(3)
理論的には解けるのでしょうが、文字が多くて大変そうです。
(2)まで解ければいいのではないでしょうか。

 

東京工業大学数学の傾向と対策と勉強法

 『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はCCDCCでした。
 ただし、すべての大問が小問に分かれているので、大問の完答は難しいものの、小問は解けそうなものも多く、どれだけ集めたか、の勝負だったと思います。
 2018年東大理系がBCBBDCで理Ⅰの合格者平均が120点満点中70点、理Ⅱの合格者平均が52点(東京大学新聞調べ)なので、東大理系の平均的な合格者はC問題は完答できていないと思われます。
 東工大も同様で、平均的な合格者は部分点だけ集めて大問としては0完、という人が多かったのではないでしょうか。
 大問を完答する難易度だけで見ると、東工大のほうが東大より簡単、というわけでもありません。
 結局、出題が標準的でも難しくても、教科書を理解して、『Focus Gold』(啓林館)あたりをマスターして、入試標準問題演習をして得られた実力の範囲で、どれだけ精度良く点数を取れたか、で勝負は決まっています。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2023】一橋大学数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Gold+合格る確率+整数で合格への道

 

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東大・医学部受験の数学の勉強法

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京都大学文系・理系数学

 

【2023】一橋大学数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Gold+合格る確率+整数で合格への道

 

一橋大学入試の数学で悩んでいる人へ

 一橋大学数学が難しくて、大問を完答できない。また、どのくらいが合格レベルかが全くわからずに、悩んでいませんか?
 実は、一橋大学の数学は、年度にもよりますが、月刊『大学への数学』誌の難易度では、東大文系よりも難しい年もあります。また、毎年のように出る、整数、確率は、特殊な分野で、教科書とチャート式、Focus Goldあたりを深く理解しても、特別な対策をしないと、歯が立たないことが多いです。
 この記事を読むと、一橋大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、どのような教材をマスターすればいいのか、などを知ることができます。

 

一橋大学入試における数学の重要性

 一橋大学の数学の配点は、商学部が250/1000。経済学部前期が260/1000。法学部が180/1000。社会学部が130/1000です。特に経済系の学部では、数字だけ見ても、配点が高いことがわかります。
 また、数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、まず無理といえます。
 一橋大学のシラバスを見ても、経済系に強い大学だからでしょうか、理工系並に数学の授業が充実していて、選択履修することができます。
 ちなみに、2023年4月に日銀総裁に就任した植田和男さんも、最初は東大理学部数学科で、その後、経済学部に学士入学しています。経済学における数学の重要性は、近年徐々に、大学入試に反映されつつあります。

2023年学部別合格最低点

一橋大学のサイトより引用

学部 合格最低点
571
経済 570
592
社会 574

 合格最低点は、共通テストも合わせて、1,000点満点にしたものです。
 たとえば、経済学部を受けて、共通テストで160点/210点満点を取ったとしましょう。一橋二次では、410点/790点満点、つまり、5割強取れば受かるということです。一橋は社会の論述が妙に書きにくい、などを考慮しても、数学の目標点は5割前後の年が多いと思います。ただし、以下のように、数学は、年度ごとに、難易度の差が激しいので、あくまでも1つの目安になります。それにしても、下記のように勉強すれば、数学で合格点を超えることはできます。

 

一橋数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 一橋の数学は、東大文系よりも難しいと言われることがあります。たしかに、月刊『大学への数学』誌の難易度ランクづけでも、そのような評価の年もあります。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

【2023】一橋大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問1

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
問題文からして、整数問題です。

C(コンビネーション)で整数問題になるということは、1つは!(階乗)表記にして整理すると、整数問題っぽくなるのではないか、と考えます。すると、(  )2と因数分解できる部分ができるので、平方数の条件で絞り込みます。
平方数の条件で絞り込む問題は、Focus Goldには載っています。大学受験塾チーム番町では、Focus Goldだけだと上位大学の整数には少し弱いので、合否を分けるレベルの入試問題集を渡しています。このくらいの取り組みで、完答も可能です。

 

大問2

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
微分の問題です。Focus Goldなどにも載っている、2曲線が違う接点の共通接線を持つ問題です。Focus Gold通りにやると、途中、複2次式と二次方程式の解の配置の問題の融合問題となります。このあたり、『理系数学良問のプラチカ』『文系数学良問のプラチカ』には、ほぼ同じ流れの問題が載っています。Focus Gold→『プラチカ』は一橋対策の王道です。完答できます。

 

大問3

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
ベクトル不等式で表される球上に頂点がある四面体の体積の最大値を求める問題です。

どんな球かは、Focus Goldの平面ベクトルをマスターしていれば、わかると思います。円や球は中心に着目するのが大切、というのは、ちょっと入試問題集をこなせば出てくると思います。実は、類題が本年度、ある一橋大模試で出題されていました。完答できます。

 

大問4

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。
群数列の問題です。

たとえば、青チャート本文や、Focus Goldの章末には、似たような見た目、考え方をする問題が載っているので、完答も可能です。しかし、2023年で最も難しい問題で、時間的な制約から、完答は厳しかった人が多かったでしょう。

大問5

月刊『大学への数学』誌の難易度はA。
確率の問題です。

2人が交互にゲームをする問題で、何回戦かを偶奇で場合分けして Σ(シグマ) で足す問題は『合格る確率』(文英堂)に載っています。一橋受験生は、『合格る確率』は相性が良いと思います。本問は3人でゲームをしますから、3K、3K+1、3k+2と場合分けしてΣ(シグマ) で足せばいいです。完答できます。

 

一橋大学数学の傾向と対策と勉強法

 一橋大学の数学は、大問5問、試験時間120分。微分積分、確率、整数、ベクトルがよく出題される傾向にあります。このうち、確率、整数は、特別な対策が必要なことも多いです。

 確率は、同じ「確率」の分野でも、共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるものとは、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、2023年のようにΣを使う、などです。合否を分ける基本的な技法は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。あとは、京大の過去問が似ていることが多いので対策に使えます。

 整数は、完答できていない受験生が多い年も多いので、なんとも言えませんが、取れるだけ部分点を取らなければなりません。市販でちょうどいい整数問題集が無いので、大学受験塾チーム番町では、ちょうど完答できなければならないレベルの技法を網羅した、対策整数問題集を渡しています。

 微分積分は取り組みやすいことが多いです。ただ、やはり、文字aなどを含み、場合分けをする、といったことを求められることが多いです。Focus Goldの技法を完璧にし、『文系数学良問のプラチカ』をで対策をしたいです。

 かなり出題傾向にクセがあるので、過去問集である『一橋大の数学20カ年』(教学社)を、『月刊大学への数学』の東京出版の難易度を意識して(B完答、C部分点)使い、対策したいです。

 東進さん(2回)、河合塾さん(1回)が実施している一橋模試もぜひ受けましょう。数学に関しては、レベルが高めの駿台全国模試、京大模試あたりを受けても、難易度、傾向がわりと近くていいかと思います。

 2023年は、教科書を理解し、Focus Goldをマスターし、と、適切な整数問題集をこなしていれば、3完半~4完は狙えました。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

一橋数学 オススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの一橋大学に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、一橋レベルの成績になっているはずです。

 一橋入試対策としては『合格る確率』整数対策『文系数学良問のプラチカ』『一橋大の数学20カ年』を、上記のように、合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、整数、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや『一橋大の数学20カ年』の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番で似たような問題が出るかもしれません。

 

2022年一橋大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問2

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
三角関数と微分の融合問題です。

この三角形の面積を求めるには、教科書のベクトル(図形と方程式)のところに載っている公式が見通しが良さそうです。それで整理すると、sinθについての3次関数になり、Focus Goldあたりにはまず載っているので、普通に解けます。-1≦sinθ≦1を考慮するのはアタリマエですね。完答しましょう。

 

大問3

月刊『大学への数学』誌の難易度はB。
「図形と方程式」で領域を図示する問題です。

(1)
絶対値つきの不等式を証明する問題です。
教科書通りに絶対値を外せば、普通に証明できると思います。

(2)
絶対値つきの不等式が表す領域を図示する問題です。
当然、(1)を誘導と考えるところから逆算して考えます。すると、図示する領域は非常にシンプルなので、簡単に完答できます。

 

大問5

月刊『大学への数学』誌の難易度はC。
確率漸化式の問題です。

(1)(2)ともに「確率漸化式を2段階で使う」という、ちっと見慣れない問題です。したがって、言われれば簡単なのですが、実戦的には難しかったかと思います。

 

 

2019年一橋大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『大学への数学』5月号の難易度はC。
数列に平方数でない項が存在することを示す問題です。
整数問題でしょう。
整数、数列のように、とびとびの値しか取らない場合(離散的といいます)、実際にn=1,2,3…とやってみるのが有効なことがあります。

整数問題攻略の7つのポイント

a3で整数問題っぽく=q2と置いてもいいでしょうし、もっとやると周期性が見つかるでしょう。
完答すべきです。
整数は、チャートにせよ、Focus Goldにせよ、弱いので、大学受験塾チーム番町では、入試に出たら解けなけばならないレベルの類型をほぼ網羅した問題集を渡しています。

大問2

『大学への数学』5月号の難易度はB。
点Qは単位円の第一象限の点なのでQ(cosθ,sinθ)(0≦θ≦π/2)と置くのはいいでしょう。
その後ゴリゴリ計算すると、三角関数の合成をできる形になるので、それを図形的に読み取れば完答できます。

 

大問3

『大学への数学』5月号の難易度はB。
(1)
三次関数と接線の問題です。
ゴリゴリやるだけです。
(2)
三次関数と接線が囲む面積の問題です。
ゴリゴリやるだけですが、公式も存在します。
完答すべきです。

 

大問4

『大学への数学』5月号の難易度はB。
円が内接したり外接したりしている状況で三角形の面積の最大値を求める問題です。
おそらく最後は1文字についての関数になるだろう、と考えると、式の本数よりも1つ多く文字を使っても大丈夫、ということになります。
そのように考えると完答を狙えるでしょう。
図形問題として検討する価値の高い問題だと思います。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、図形は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

大問5

『大学への数学』5月号の難易度はA。
確率の問題です。
丁寧に調べていくだけです。
場合の数、確率は、常に、余事象を取ることを選択肢に入れておきましょう。
完答すべきです。
大学受験の数学は、入試問題の丸覚えではなく、教科書の理解と『Focus Gold』(啓林館)などの問題集でマスターした技法を入試問題に対して臨機応変に使いこなすことが大切だと思われますが、確率は、問題の性質上、実際に入試レベルの問題に多く取り組む優先順位が高い分野だと思います。

 

一橋大学数学の傾向と対策と勉強法

 2019年は難易度がCBBBAでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、時間さえ許せば満点も狙えるような出題です。他の受験生に十分差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

 

2018年一橋大学数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問1

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
整数問題です。
(1)
帰納法や不等式の評価など、いろいろアプローチはありそうなので、なんとか解きたいです。
(2)
(1)は誘導なので、あとは4桁に絞り込み、気づいたところから数字を確定させていけば、完答も狙えるでしょう。
整数は、チャートにせよ、Focus Goldにせよ、弱いので、大学受験塾チーム番町では、入試に出たら解けなけばならないレベルの類型をほぼ網羅した問題集を渡しています。

 

大問2

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
放物線の接線と円が囲む面積の取りうる範囲の問題。
点と直線の距離に帰着させるのが気づきにくいという意味でCなのでしょうが、このような設定で点と直線の距離を使う問題は『Focus Gold』の図形と方程式のところに載っています。
そうすると完答できるでしょう。

 

大問3

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
確率の問題。

丁寧に数え上げるだけです。
確率の問題で丁寧に数え上げる、という選択肢は、常に頭に入れておきましょう。
完答すべきです。

 

大問4

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
空間座標上の四面体の体積の最大値の問題。

問題文の条件から素直に式を立てた後、相加相乗平均を使うか、2次方程式の解と係数の関係(いかにもという形をしている)から、その2次方程式が正の2解を持つ条件(教科書やFocus goldに載っている)に帰着させることができれば、完答できるでしょう。
C問題ですが、そう理不尽ではないので、受験生はマスターする価値が高い問題と言えます。

 

大問5

『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
積分の面積の問題。
(1)
2曲線の共有点がどの範囲にある、といった問題は『Focus Gold』あたりにはまずありますし、初見でもできるでしょう。
(2)
2曲線が囲む2つの面積が等しい時の有名な話で、チャートやFocus Goldあたりに載っている技法を使えます。
完答すべきです。

 

一橋大学数学の傾向と対策と勉強法

 2018年の東大文系は『今年の入試で合否を分けたこの1題』誌の難易度がCBBBで合格者平均点が80点満点中50点前後(東京大学新聞調べ)でした。東大文系の平均的な合格者は、B問題も完答しきれていないのですね。
 そうすると、難易度がCCBCBだった2018年一橋はB問題を2完し、C問題で部分点を集めれば、十分他の受験生に差をつけることができたでしょう。
 そのためには、教科書を理解して、『Focus Gold』(啓林館)あたりをマスターして、入試標準問題演習をすれば大丈夫です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。
整数と確率は、Focus Goldだけでは弱く、『合格る確率』あたりをこなす必要があります。

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

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経済系の受験生が数学力を向上させる重要性

 一橋大学の前身は、1875年設立の商法講習所、そして何度か改称されていますが、東京商科大学です。現在は、法学部、社会学部もありますが、歴史的に経済系に強い大学です。近年、経済系の学問における数学の重要性が、ますます高まっています。

・基礎的な理解
数学は、経済理論や経済モデルを理解するために不可欠なです。数学の基礎がしっかりしていれば、複雑な経済概念をより簡単に理解することができます。

・分析力
経済現象を理解し、現実の問題を解決するために不可欠な、批判的・分析的な思考力を養います。

・定量的手法
経済学は、計量経済学、統計学、最適化など、データを分析し解釈するための定量的な手法に依存しています。数学に精通することで、これらの手法を効果的に学習や研究に応用することができます。

・経済モデリング
数理モデルは、経済関係を表現し、さまざまなシナリオを分析するために使用されます。数学に精通することで、これらのモデルを作成、解釈、批判することができ、経済現象に対する理解を深めることができます。

・厳密さと正確さ
数学は、経済分析における厳密性と正確性を担保します。数学が得意な学生は、経済理論や政策決定の意味をより正確に判断することができます。

・学際的なつながり
経済学は、金融、ビジネス、公共政策などの分野と相互に関連しており、これらの分野でも定量的なスキルが必要とされます。数学のスキルを向上させることは、これらの関連分野で役立ちます。

・研究・学問
経済学の研究や学術的なキャリアを目指す学生にとって、質の高い研究を行い、この分野に貢献するためには、ハイレベルな数学のスキルが不可欠です。

・就職に有利
金融、コンサルティング、公共政策など、さまざまな分野の雇用主は、経済学部出身で数学の能力が高い人を高く評価します。このスキルは、就職やキャリアアップのチャンスにつながる可能性があります。

・コミュニケーション
しっかりとした数学の基礎があれば、複雑な経済学の考え方を、文章や口頭でより効果的に伝えることができます。

・継続的な学習
これは、キャリアを通じて新しい経済理論、技術、ツールを継続的に学び、適応していくために不可欠なものです。

 まとめると、経済学部の学生が数学のスキルを向上させることは、学業での成功、キャリア展望、経済学分野への貢献のために不可欠です。数学の基礎がしっかりしていれば、複雑な経済概念を理解し、定量的な方法を適用し、自分の考えを効果的に伝えることができます。

【2023】筑波大学医学群数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldが合格の鍵

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

東大・医学部受験の数学の勉強法

千葉大学医学部数学

 

【2023】筑波大学医学群数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldが合格の鍵

 

筑波大学医学群入試の数学で悩んでいる人へ

 筑波大医学群数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、筑波大医学群の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、筑波大医学群数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

筑波大学医学群入試における数学の重要性

 筑波大学医学群大学の数学の配点は、二次の数学だけなら、適性試験の500点を抜くと、300/900です。
 また、数学は、大問が4つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、まず無理といえます。
 合格している人の何割かは、たまたま解ける問題が多く出て、運良く受かった人ですが、自分が確実に合格しようと思ったら、数学の点数のブレをなるべく少なくすることが、非常に大切だということがわかると思います。

 

筑波大医学群数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 筑波大医学群は、入学難易度のわりには、数学の問題が易しめです。なぜなら、全て、他学部と同じ問題を解くからです。したがって、かなりの高得点勝負になりますが、あまりプレッシャーに感じると、実力を発揮できないかもしれません。一方、たまに、完答は難しい問題も出題されます。
 仮に、多くの簡単な問題や、たまに出る難しい問題を見て、解けなそうな時、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。簡単な問題の場合、落ち着けば、解けるかもしれません。難しい問題の場合、ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

筑波大学医学群数学、近年の傾向

 最初の大問3つは、文系との共通問題です。3問から2問選択します。教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで正解できることが多いです。後半の大問3つは、理系共通問題です。3問から2問選択します。ここも、標準レベルのことが多く、教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで正解できることが多いです。
 総合大学の国立医学部の特殊性として、他の学部と同じ問題を解く、ということがあります。筑波大医学群の場合、まさにそうです。したがって、題が易しめなので、かなりの高得点勝負になります。

 

2023年筑波大学医学群数学:難易度、どのくらい解けるか

 

 毎年発売される『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査しています。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問1

大問1~3から、2題の選択です。

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数2の微分、3次関数の問題です。

(1)
三次関数の接線の、接点以外との交点を求める有名問題です。有名だし簡単なので、解けます。連立した時に、接点のx座標を重解に持つことを理解していると、より見通しがいいです。また、記述式なので検算程度にしか使えませんが、変曲点のx座標は、接点のx座標と交点x座標を1:2に内分する、という事実があります。

(2)
(1)の2点と三次関数上の点Pが作る三角形の面積を求める問題です。類題は、Focus Goldあたりの図形と方程式に載っています。点と直線の距離を使って三角形の高さを求めます。したがって解けます。

(3)
(2)の三角形の面積の最大値を求める問題です。(2)が二次関数の形なので、教科書レベルと言え、解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
二次関数、数2の積分あたりの問題です。

(1)
二次関数に絶対値がついていて、文字も多いので、きつそうな気がしますが、交点を求めるので、連立すると、意外となんとかなり、解けます。

(2)
数2レベルの積分をして面積を求めるだけなので解けます。

(3)
不等式の証明なので、セオリー通り、差を取るのはいいでしょう。すると、いかにも、相加相乗平均の形になるので解けます。理系なら微分も選択肢に入るかもしれませんが、文系との共通問題であることに注意。本問は相加相乗平均の不等式の等号が成り立たないのですが、示す不等式に等号がないので、ちょうどいい、という流れになります。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
空間ベクトルの問題です。

(1)
Gは三角形ABCの重心であることと、与式を使えば、すぐに解けます。

(2)
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca の展開公式が頭に浮かぶか、また、ベクトルでFocus Goldあたりには載っている、1項だけ移行して、大きさを取って2乗する、という技法で解けます。

(3)
本問も、Focus Goldあたりや共通テスト対策をしていれば、本問で原点としてふさわしい点Oを中心に(終点)ー(始点)の有名な変形をするだろう、ということはいいと思います。最後の図形的考察も、Focus Goldあたりをこなしていれば出てくるので、解けます。

 

大問4

大問4~6から、2題の選択です。

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数3の積分の問題です。

(1)
定積分の値を求める問題です。積分区間が-πからπまでなので、偶関数、奇関数を調べるのではないかと考えます。結果、奇関数なので、答は0です。このあたり、Focus Goldには、やや複雑な問題も載っているので、解けます。

(2)
不等式の証明ですから、セオリー通り、左辺から右辺を引いてみます。そうすると、比較的簡単に証明できると思います。

(3)
回転体の体積に関する不等式の証明の問題です。愚直に回転体の体積を出してみると、(2)の形が出てくるので、使うのではないかと考えます。あとは、丁寧に定積分の計算をすると、問題文の式が出てくるので証明できます。ただ、本文は、等号条件の検討が必要で、そこが少し難しい、忘れやすい、かもしれません。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数3の微積分、極限あたりの問題です。

(1)
教科書にも載っている、微積分学の基本定理の式の、上端と下端にxと定数(数2レベル)ではなく、関数が入る(数3レベル)問題なので、解けます。

(2)
g(t)を最小にするtの値がただひとつ存在し、そのtをhで表す問題です。g'(t)は(1)で求めています。t>0も考慮し、増減表を書くと、解けます。式はやや複雑ですが、やっていることは教科書レベルと言えます。

(3)
極限値を求める問題です。eを含み、微分の定義を使う極限の問題は、わりとあります。本文もそれで解けます。

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
複素数平面の問題です。

(1)
教科書にも載っている軌跡の問題なので解けます

(2)
軌跡の問題です。与式を見ると移項して因数分解できることがわかります。すると、数2の図形と方程式あたりを勉強していると、図形が2つあるということがわかります。一方は(1)の図形です。もう一方も、(1)と同様の、教科書レベルの軌跡の問題なので、解けます。

(3)
w=1/zと変換する軌跡の問題ですが、これも教科書に載っているので、同じようにやれば解けます。本問の特殊性は、図形が2つあることですが、特に難しくないでしょう。

 

筑波大医学群数学の勉強法と傾向と対策

 筑波大医学群の数学は、大問4問。前半2問は数学1A2Bからの出題で、3問から2問選択します。文系との共通問題で、二次関数、微積分などが出題されます。後半2問は数学3からの出題で、大問4、5は微積分、極限がよく出題される傾向にあります。大問6は近年、複素数平面で固定です。他の理系学部と共通問題です。

 くり返しますが、全問、他学部との共通問題なので、難易度は標準的です。教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法をマスターし、少し入試問題に慣れれば正解できる場合が多く、そして、それで、他の受験生に十分に差をつけることができます。

 2023年の難易度はBBBBBでした。上記のように、教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、満点も可能で、他の受験生に十分差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

筑波大医学群数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。

 次に、Focus Goldの筑波大医学群に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、筑波大医学群レベルの成績になっているはずです。

 筑波大医学群対策としては『理系数学良問のプラチカ1A2B』(河合出版、文系プラチカより難易度は下です)、『年度別入試問題集』(数研出版)の理系1A2B、3の*問題(頻出標準問題)『、世界一わかりやすい阪大理系数学』(KADOKAWA、解説が詳しい)あたりをこなすと、Focus Goldでマスターした技法を、筑波大医学群入試で使いこなすことができるようになり、年度によっては満点近く取れるようになると思います。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、数3の微積分、二次関数などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや過去問の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番での対応力が向上するでしょう。

 

 

2022年筑波大学医学群数学:難易度、どのくらい解けるか

 

大問1

大問1~3から、2題の選択です。

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
2次関数、図形と方程式、微分あたりの問題です。

(1)
円と放物線の共通接線の方程式を求める問題です。円の半径はすぐわかり、接点は与えられているので、教科書の円の接線の公式を使えば解けます。

(2)
問題文を読んで、まだ使っていない、放物線の軸の条件や、放物線から見た接線の傾きの条件を使うと解けます。

(3)
三角形の面積の最小値を求める問題です。愚直に求めに行くと、分数式になりますが、文系との共通問題であることも考え、相加相乗平均の関係を使えるように変形できるのではないかと考えます。似たような問題はFocus Goldあたりには載っています。それで解けます。

 

大問2

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
確率漸化式の問題です。

(1)
ごくごく簡単な確率の問題なので解けます。

(2)
本問も、数研出版の教科書に載っているレベルの確率漸化式の問題と言え、解けます。

(3)
教科書の常用対数のところに載っているような不等式との融合問題です。漸化式を解くのも不等式を解くのも教科書レベルと言え、解けます。

 

大問3

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
ベクトルで平行四辺形を考える問題です。

(1)
普通に、問われているベクトルを問題文で使われている文字、ベクトルで表せば解けます。

(2)
平行四辺形になるように第4の頂点を求める問題は教科書に載っています。「1組の対辺が平行で長さが等しい」を、「ベクトルが等しい」と考えるのですね。本問もそれで示せます。

(3)
ベクトルが平行になるようにtの値を定める問題です。一方のADベクトルはbベクトルです。愚直にもう一方のA3B3ベクトルをaベクトルとbベクトルで表しに行きます。教科書に載っている平行条件、実数倍と書けることから、aベクトルの係数は0ですから、それでtの値が定まり、解けます。

 

大問4

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
微分、積分あたりの問題です。

(1)
問題文の2曲線がちょうど2つの共有点を持つように、aの値を定める問題です。
見た感じ、定数aを分離する、教科書にも載っている解法が思い浮かびます。この時、連立してaを分離した式のaでない方が偶関数になっていることに気づけば、少し早く解けます。

また、cos2x=tと置き換えて、2次方程式の解の配置の問題に帰着させる解法もあります。こちらはFocus Goldあたりには載っているので、やはり解けます。

(2)
問題文の2曲線が囲む面積を求める問題です。普通に、上下関係を考え、共有点を求め、積分すれば解けます。定積分も教科書レベルと言えます。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
微分の問題です。

(1)
愚直に法線の方程式、点Qの座標を求め、QRの長さ(両点ともx軸上)を求めれば解けます。

(2)
大問5の問題文とは関係のない、まずFocus Goldあたりの微分のところには載っている不等式の証明の問題なので、解けます。この時点で、おそらく(3)で使うのだと考えましょう。

(3)
(1)のQRの長さの最大値を求める問題です。絶対値を外し、微分して、増減表を書きます。この時、どちらの極大値で最大値を取るのかがよくわからないのですが、ここで(2)の不等式を使うと考えます。それで解けます。

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
複素数平面の問題です。

(1)
複素数平面には、いくつか、よく使う技法があります。
そのうちの1つにその複素数をa+biと置く、というものがあります。
本文もそう置いて、分母を実数化するという自然な計算をすれば、簡単に示せます。

 

 

 

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2023】千葉大学医学部 数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldが合格の鍵

 

【2023】千葉大学医学部 数学 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldが合格の鍵

 

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筑波大学医学群数学

 

千葉大学医学部入試の数学で悩んでいる人へ

 千葉大医学部数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、千葉大医学部の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、千葉大医学部数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

千葉大学医学部入試における数学の重要性

 千葉大学医学部大学の数学の配点は、二次の数学だけなら300/1450、共通テストの数学も入れると400/1450です。二次の試験時間は120分です。
 また、数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、まず無理といえます。
 合格している人の何割かは、たまたま解ける問題が多く出て、運良く受かった人ですが、自分が確実に合格しようと思ったら、数学の点数のブレをなるべく少なくすることが、非常に大切だということがわかると思います。

 

千葉大医学部数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 千葉大医学部は、入学難易度のわりには、数学の問題が易しめです。したがって、前半は、ほぼ完答できなければいけないのですが、あまりプレッシャーに感じると、実力を発揮できないかもしれません。一方、後半の医学部向け問題は、難しいことが多いです。大問間の難易度の波が大きいです。
 仮に、前半の簡単な問題や、後半の難しい問題を見て、解けなそうな時、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。簡単な問題の場合、落ち着けば、解けるかもしれません。難しい問題の場合、ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

千葉大学医学部数学、近年の傾向

 最初の大問3つほどは、教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで正解でき、後ろの大問2問ほどは、小問の完答、または部分点狙い、という傾向があります。そして、それで、他の受験生に十分に差をつけることができます。
 総合大学の国立医学部の特殊性として、他の学部と同じ問題を解く、ということがあります。千葉大の場合、一部、医学部向けに、難しい問題が用意されていますが、難しくてあまり差がついていない可能性が高いです。やはり、他学部との共通問題、つまり前半でどれだけ取ったか、で勝負が決まります。

 

千葉大学入試の数学が解けない人へ

 上記のように、教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで、医学部でも、ほぼ合格できる、難しいとは言えない出題です。(さすがに医学部は、もう少し補強したほうがいいですが。)
 医学部でない場合、独学なら、まず、教科書と『黄チャート』(数研出版)あたりの本文の問題を完璧に解けるようにしましょう。学校で受けるベネッセ模試、河合記述模試では、合格点を取れると思います。
 そして、入試問題に慣れる必要があります。年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題は、頻出標準問題です。その前後の問題を解けるようにすれば、千葉大数学を得点源に変えることができるでしょう。もちろん、過去問もこなしましょう。
 大切なのは、どの教材も、問題を見た瞬間にぱっと解答の方針が思い浮かぶまで、ひたすら復習することです。

 

2023年千葉大学医学部数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 毎年発売される『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞は合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
ベクトルの問題です。

(1)
もしかしたら(1)が一番難しいかもしれませんが、不存在の証明なので、背理法が有力です。

(2)
Hは直線OA上の点なので、ここで1文字使い、内積0を使えば文字が定まる、という流れは、Focus Goldあたりに何問も載っているので解けます。

(3)
やはり平行条件から、ここで1文字使い、内積0を使えば文字が定まる、と(2)とほぼ同じような流れなので解けます。

(4)
本問で問われている三角形の外心は、辺の垂直二等分線の交点なので、(3)において、t=1/2とおけば、1分程で解けます。
大問5は完答できます。

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
確率の問題です。

(1)
ごく簡単な「数え上げ」型の確率の問題なので解けます。大学受験数学の確率においては、愚直に数え上げることが大切になることが多いです。

(2)
基本的な確率漸化式の問題なので解けます。

(3)
標準レベルの確率漸化式の問題なので解けます。全確率をたすと1になるので、そこから文字を消去していく、本問のような問題は、Focus Goldあたりにも載っています。
大問6は難易度Cですが、完答できそうです。

 

大問7

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
三角関数と絶対値つき積分の融合問題です。

(1)
与式の最大値を求める問題です。
まあ、絶対値の中は、三角関数の合成をしてください、という形です。ただし、有名角では合成できません。有名角で合成できない問題も、一番の基本形は数研出版の教科書あたりには載っていますし、もっと難しい考察をする問題も、Focus Goldあたりには載っているので解けます。

(2)
定積分の計算をする問題です。
置換するなどの工夫をすると、見通しよく計算できるので解けます。

(3)
定積分の最大値を求める問題です。
これも置換して、グラフの概形を考えると、面積を最大にする区間で最大を取りますから、答は直観的にわかります。
あとは、愚直に計算すると、最大値が求まる形になるので、解けます。
計算はやや面倒ですが、難しくはないので、大問7も完答したいです。

 

大問8

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
複素数平面の問題です。

(1)
方程式 z3 = i を解くという、教科書に載っているような問題なので、解けます。ただ、後ろの問題のヒントとして用意してあるのだと思います。

(2)
(1)より少し状況が複雑なだけで、素直に問題文にしたがって、式を立てていけばいいので、解けます。

(3)
本問も、n乗と抽象度が増しますが、途中までは、上2問と同じ方針でやればいいです。本問は、正の整数nについての問題で、途中、nの分母に6がつきます。したがって、6で割った余りで場合分けして考える、というのは自然な方針なので、解けると思います。
大問8は完答しましょう。

 

大問9

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
数3の微分の問題です。

(1)
関数の最大値を求める問題です。
愚直に微分して増減表を書けばいいので、枠組みは教科書レベルと言え、解けます。

(2)
関数が最大値を持つことを示す問題です。
やはり、増減表を書けばいいので、枠組みは教科書レベルと言え、示せます。

(3)
関数の最大値がf(s)であることを示す問題です。
まず、tについての関数と問題文に書いてあるのに、αの関数と捉え直すのが難しいと思います。それさえできれば、出てきた式が、平均値の定理を使えそうだというのは、思いつきやすいかもしれません。一方、大学入試でそこまで出題頻度の高くない形なので、やや難しいかもしれません。
他の大問が解きやすいので、時間との関係もあるので、(3)はほぼ手つかずでも合格点を十分超えたと思います。

 

千葉大医学部数学の勉強法と傾向と対策

 千葉大学医学部の数学は、大問5問、試験時間120分。数3の微分積分、確率がよく出題される傾向にあります。確率は特別な対策が必要なことも多いです。
 確率は、同じ「確率」の分野でも、「共通テストや、もう少し入りやすい国立大学で出題されるもの」と「上位国立大学で出題されるもの」は、かなり傾向が異なることが多いです。抽象的な文字nなどが含まれる、漸化式との融合問題になる、Σを使う、などです。千葉大医学部は、両方出ます。「上位国立大学で必要な技法」は『合格る確率』(文英堂)でマスターすればいいと思います。

 数3の微分積分は取り組みやすいことが多いです。Focus Gold数3の入試に出る技法の網羅度は、かなりのものです。まずはFocus Gold数3の本文の問題を全問解けるようにしましょう。

 近年、千葉大医学部の数学は、最初の大問3つほどは、教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで正解でき、後ろの大問2問ほどは、小問の完答、または部分点狙い、という傾向があります。そして、それで、他の受験生に十分に差をつけることができます。

 2023年は、難易度がBCCBCでした。ただし、大問6,7のCは、特に発想といったものが必要ではなく、定型的に近く、完答も可能です。本当にきついのは、最後の大問9の(3)くらいだったと言えます。もちろん、医学部でも、もう少し失点しても、十分合格点を超えたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

千葉大医学部数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Goldの千葉大学医学部に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、千葉大学医学部レベルの成績になっているはずです。
 千葉大学医学部対策としては『合格る確率』、整数対策、『文系数学良問のプラチカ』、あたりを合否を分けるレベルの問題は全問解けるようにしましょう。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Goldや過去問の月刊『大学への数学』誌のBランク問題に取り組むと、本番での対応力が向上するでしょう。

東大・医学部受験の数学の勉強法 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

 

2022年千葉大学医学部数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
n個のサイコロを投げ、積を考える確率の問題です。類題は、いろんな大学で多く出ており、Focus Goldあたりにも載っています。ちなみに、サイコロをn個投げるのとn回投げるのは同じなので、反復試行で考えることもできます。

(1)
積が2でも3でも割り切れない確率です。1,5だけが出ればいいだけなので、初見でも解けるでしょうし、Focus Goldあたりにも載っています。

(2)
積が2で割り切れるが、3でも4でも割り切れない確率です。1つだけ2が出て、あとは1,5だけが出ればいいだけなので、解けますし、Focus Goldあたりにも載っています。

(3)
積が4で割り切れるが3で割り切れない確率です。積が~の倍数という問題は、つまり、少なくとも1つ~の倍数が出る、ということなので、余事象を取るのが普通で、4の倍数を考える問題もFocus Goldあたりには載っています。また、大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。本問も(1)(2)の結論を使えます。
完答しましょう。

確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、千葉大医学部レベルで合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はA。
ベクトルの問題です。

(1)
垂直なので、教科書通り、内積0で求まります。

(2)
ベクトルの大きさの最小値なので、「ベクトルの大きさは2乗せよ」の格言通りにやると、解けます。
教科書~Focus Gold基礎レベルと言えます。完答しましょう。

 

大問7

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。

(1)
整数問題です。
整数問題や数列など、整数、自然数のみ、つまり、とびとびの値しか取らない(離散的といいます)問題は、「具体的に数値を当てはめてみる」のが有効なことが多いです。本問もyに1,2,3と代入していくと解決します。

(2)
(1)(2)で与えられた条件を使えば、簡単に証明できます。

(3)
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。
(2)の結論から、与式(*)の整数解は無数にありそうな気がします。あとは、重複を排除するために、単調増加性を示す、ということに気づくことができるかどうかです。気づければ、示すことは簡単です。
できれば完答したいですが、定型的とは言えないので、やや難しいかもしれません。

 

大問8

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。

(1)
不等式の証明で、問題で与えられている式に向かって、何かを掛けたり、積分したりして変形していく類型は、Focus Goldあたりには載っており、そのような問題に慣れていれば解けます。

(2)
このような極限は、まあ、はさみうちなので、解けます。

(3)
本問のようなA(m、n)といった表記を含む積分の問題はFocus Goldあたりには載っており、また、いかにも部分積分してくれ、という形をしています。すると(1)と同様の不等式の証明の考え方と、まあ、この極限もはさみうちだろう、という思考があれば、完答も可能だと思います。

 

大問9

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
数3の微分の問題です。

(1)
単調増加を示すので、教科書通りf'(x)>0を示せばよく、それほど難しくないので正解できます。

(2)
本問も単調増加についての問題なので、とりあえず微分し、その一部をg(x)とでも置きます。その後の考察が、難しいでしょう。

 

千葉大医学部数学の勉強法と傾向と対策

 2022年は難易度がBABCCでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大問7(3)、大問9(2)以外は解くことができ、他の受験生に十分差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

東大・医学部受験の数学の勉強法

 

 

2021年千葉大学医学部数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問5

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
確率の問題です。
白玉5個、黒玉5個が入っている袋からn回取り出して戻さず、白玉なら1点、黒玉なら、さらにサイコロを振り、3の倍数なら1点、という問題です。

(1)
n=2のとき2点である問題です。
場合分けして丁寧に計算するだけで解けます。

(2)
n=4のとき2点以上である問題です。
確率は、常に、余事象を取ることを選択肢に入れておきましょう。まあ、「2点以上」という問題文から余事象を考えるのは教科書レベルなので、解けます。

(3)
n=10のとき8点以上である問題です。
白玉を全て取り出すので5点は確定、と考えると、難しくないので解けます。
完答しましょう。

確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、千葉大医学部レベルで合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
分数関数上やその他に点が設定されている問題です。

(1)
軌跡の問題です。
この程度のx、y座標を媒介変数tで表し、tを消去する軌跡の問題で、場合分けをして除外点も考える問題はFocus Goldあたりには載っているので、解けます。

(2)
普通にやると、数2の教科書レベルの3次方程式の実数解の個数に帰着されるので解けます。
完答しましょう。

 

大問7

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
複素数平面の問題です。

(1)
等式の証明で、似たような形は青チャートには載っています。
w5-1=(w-1)(w4+w3+w2+w+1)の因数分解は、複素数平面では頻出で、Focus Goldあたりには載っています。これを駆使してゴリゴリ計算すれば、証明できます。

(2)
このような小問群は、上の問題は誘導かもしれない、ということを常に頭に入れておきましょう。
本問は、z=cosθ+isinθと置いて、(1)の式に代入すれば、示せます。背景としては、複素数の絶対値が1という問題は頻出で、その時、z×zバー=1、つまり、zバー=1/zをよく使います。Focus Goldあたりには載っています。(1)の等式にも1/zの形が多く登場します。このような発想かと思います。

(3)
本問も(2)が誘導で、等式にθ=π/10を代入すれば解けます。

 

大問8

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はB。
数3の微積分の問題です。

(1)
曲線と曲線が接するという、頻出の有名問題で、当然、Focus Goldあたりには載っているので、解けます。

(2)
面積の極限値を求める問題です。
最後、limx→0の(log(1+x))/xの極限の話は、載っている本には載っていますが、知らない人もいるかも知れません。ただ、分母分子、いずれも、x=1の傾きが1なので、収束のスピードが同じであることから、直感的にわかることではあります。

(3)
本問も面積の極限値を求める問題です。ゴリゴリ計算するだけなので、解けます。

 

大問9

『合否を分けたこの1題』誌(東京出版)の難易度はC。
関数列の問題です。

(1)
前半は、まあ、教科書、Focus Goldレベルの数学的帰納法の流れで証明できます。後半の次数を求める問題も難しくないと思います。

(2)
本問も、枠組み自体は、教科書、Focus Goldレベルの数学的帰納法で証明できると言え、示せます。加法定理を使うあたりも、自然な流れと言えると思います。

(3)
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使うのではないか、というのが大切な考え方です。
(2)の結論を使いますが、xと本問定義域のtanθが1対1対応などというのは、言われれば全く難しくないですが、実戦的に入試中に考えられるか、というと、難しいようにも思います。このあたりの誘導に乗れれば、あとは、やや抽象的で複雑ながら、三角方程式なので、完答も可能ですが、他に解きやすい問題が多く、本問は手つかずでも、十分に合格点を超えたでしょう。

 

千葉大医学部数学の勉強法と対策と対策

 近年、千葉大医学部の数学は、最初の大問3つほどは、教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)などの技法のマスターで正解でき、後ろの大問2問ほどは、小問の完答、または部分点狙い、という傾向があります。2021年は、難易度がBBBBCでした。最初の大問4つが完答可能で、最後の大問も(2)までは解きやすいと言えますが、微妙に難しめな箇所もあり、それも考えると、まあ、例年と同程度と言えるかもしれません。その難易度Bでも微妙に難しめのところでポツポツ失点しても、医学部でも十分に合格点を超えたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

東大・医学部受験の数学の勉強法

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

 

2020年千葉大学医学部数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問6

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
1~5のカードから1枚取り出して、和が初めて3の倍数になる確率を求める問題です。

(1)
2回目、3回目で初めて3の倍数になる確率です。ていねいに数え上げて計算すれば簡単に解けます。

(2)
n回目で初めて3の倍数になる確率です。これもどのようなときにこうなるかをていねいに考えれば、解けます。

(3)
問題文に「条件付き確率」とありますが、いわゆる教科書にある「条件付き確率」の公式を使うわけではありません。教科書を根本から理解することが求められます。それさえ理解していれば、簡単に解けます。

確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、千葉大医学部レベルで合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

大問7

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
曲線の両方に接する接線が3本引けるようなaの範囲を求める問題です。

たとえば、3次関数に接線が3本引ける条件というのは、チャート式やFocus Gold(啓林館)などでは数Ⅱで出てきます。やっていることは、それとほぼ同じですが、曲線が2本あることが、この問題の特殊性です。根本から理解をしていれば完答できます。

 

大問8

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
複素数平面上で、三角形が縮小しながら回転していく問題です。

(1)
題意を把握して、回転、縮小をすれば、枠組みは教科書レベルと言え、簡単に求まります。

(2)
状況を把握すると、等比数列の和を使えることがわかります。計算は少しだけ複雑なものの、枠組みは教科書レベルと言え、簡単に解けます。

(3)
同様に等比数列の和の話になります。やや計算が複雑ですが、ていねいにやれば解けます。
(3)まで完答できます。

 

大問10

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
有理数a、bに対し、(a+bi)2の実部と虚部が整数ならば、a、bが整数であることを求める問題です。

教科書や、チャート式やFocus Goldをちゃんと勉強していれば、「対偶を取ったほうが証明しやすそう」というのはわかると思います。そして、a,bが有理数であることは大前提なので、互いに素な(整数)/(整数)と置くのも、教科書レベルです。
ここからは、どれだけ部分点を取れるかで、完答はしなくても十分合格点を取れるでしょう。

 

大問11

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はD。
積分漸化式のような問題です。

(1)
「正の整数nに対して」とあるので、数学的帰納法を使うことは考えたいです。そして、帰納法は仮定を使います。そのあたりから逆算して考えれば、ここまでは解けそうかと思います。

(2)
やはり帰納法で行きます。不等式の証明なので、教科書通り、n=k+1のときの(左辺)ー(右辺)を考えます。それ+αの部分点程度かなと思います。

(3)
本問はかなり難しいですし、全体として時間切れという問題もあるでしょう。

 

千葉大医学部数学の勉強法と対策と対策

 2020年は難易度がBBBCDでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大問10後半、大問11(2)(3)以外は解くことができ、他の受験生に十分差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

東大・医学部受験の数学の勉強法

 

 

2019年千葉大学医学部数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

大問7

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
数列の問題です。

(1)
数列なので、自然数nについての証明であり、数学的帰納法を思い浮かべるのはいいでしょう。そして、数学的帰納法の枠組み自体は教科書レベルと言えるので、示せます。数学的帰納法のコツの1つは「仮定」を使うことです。

(2)
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使うのではないか、というのが大切な考え方です。そうすると、完答も十分に可能かと思います。

 

大問8

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
三角比の問題です。

(1)
三角形の角の二等分線の長さを二等分線で分割された2つの三角形の面積の和から求める問題はFocus Gold(啓林館)あたりには載っています。
三角形の面積と内接円の半径の関係は教科書にも載っています。したがって解けます。

(2)
本問も(1)を誘導と考えます。未知数は2つですから、面積の式と余弦定理の式を連立すればいいので、解けます。
完答しましょう。

 

大問11

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はB。
よく見る数3の積分と漸化式の融合問題です。

(1)
tannθが出てくる積分の問題です。

ほぼ同じ設定の問題がFocus Gold(啓林館)あたりには載っているので解けます。

(2)
本問も(1)の結論を使います。この7乗を地道にゴリゴリ求めにいくような流れもFocus Gold(啓林館)あたりには載っているので解けます。
完答しましょう。

 

大問12

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
確率の問題です。
動く幅が同じならランダムウォークと呼ばれる有名な問題ですが、本問は動く幅が1回ごとに1/2倍になります。この状況を把握すれば、(2)まではかなり簡単な問題です。

(1)
余事象をとって、対称性を考え、2で割る問題は確率ではある話で、『合格る確率』(文英堂)あたりにも載っているので解けます。

(2)
状況を把握して(1)の結論を使うとすぐに解けます。

(3)
文字が多くてよくわからない確率の問題は、具体的な数字でやってみてから抽象化するといいでしょう。
そうすると完答も狙えるかもしれませんが、他の問題との兼ね合いも考え、(2)までできれば十分でしょう。

確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、千葉大医学部レベルで合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

大問13

『合否を分けたこの1題』誌の難易度はC。
格子点の問題です。

(1)
チャート式やFocus Gold(啓林館)などの数列のところに載っている格子点の問題を知っていれば見通しがいいと思いますが、それらより簡単なので、初見でも解きたいです。

(2)
少し難しいと思います。
試験時間や他の問題との兼ね合いも考え、(1)ができれば十分でしょう。

 

千葉大学医学部数学の勉強法と対策

 2019年は難易度がCBBCCでした。教科書を理解し、チャート式や『Focus Gold』(啓林館)などで受験によく出る技法をマスターし、入試標準問題演習をすれば、大問12(3)、大問13(2)以外は解くことができ、他の受験生に十分差をつけることができたでしょう。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2023】 日本大学医学部数学 難易度と傾向と対策:教科書の理解とFocus Goldでほぼ満点

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長による個別指導

東大・医学部受験の数学の勉強法

【~2020】日本大学医学部数学

 

【2023】 日本大学医学部数学 難易度と傾向と対策:教科書の理解とFocus Goldでほぼ満点

 

日本大学医学部入試の数学で悩んでいる人へ

 日本大学医学部数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、日本大学医学部の数学は、教科書の理解、基本問題と黄チャートあたりの技法で、ほぼ満点を取れます。
 この記事を読むと、日本大学医学部数学の難易度、どのように勉強すれば問題を解けるようになるのか、を知ることができます。

 

日本大学医学部入試における数学の重要性

 日本大学医学部の数学の配点は、
・N方式1期一次は100/400
・N方式1期二次は60/180
・N方式2期一次は100/400
・N方式2期二次は60/180
です。大問は一次が6問、二次が3問あります。
 教科書とFocus Goldあたりをマスターすれば、ほぼ満点を取れる、簡単な出題が続いています。したがって、高得点勝負になるので、「数学は捨てる」といった戦略は成り立ちません。他科目で取り返すのは、まず無理です。合格のためには、数学のかなりの高得点が必要になります。

 日本大学医学部入試における数学の重要性は理解できたかと思います。

 

日本大学医学部数学、入試本番の心構え

 日本全国、どの大学入試でも、おおむね、数学の入試というものは、大問ごとに難易度の波が大きく、並の合格者くらいではほぼ解けない出題も見られるのが普通です。
 一方で、日本大学医学部入試の数学は、全体として、教科書とFocus Goldあたりをマスターすれば解けるような難易度の問題が並びます。

 したがって、入試本番では、「ほぼ全部とかなきゃ」というプレッシャーがあると思います。そのような時に、解けなそうな問題を見て、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解ける問題ばかりがでているのが日本大学医学部の数学です。一度落ち着いて、先に他の問題に取り組む、などすると、さっき、できなかった問題もできるようになっているかもしれません。

 

医学部受験生の数学力向上の重要性

慶應義塾大学医学部数学

の一番下の方を御覧ください。

 

 

2023年日本大学医学部N方式1期一次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

大問1

(1)
論理と集合の簡単な問題です。ド・モルガンの法則を使います。教科書レベルの組み合わせなので、解けます。

(2)
絶対値つきの2次方程式です。Focus Goldあたりには載っているので、解けます。普通、絶対値の中の正負で場合分けしますが、x2にも絶対値をつけると、因数分解ができて、速く解ける、というテクニックもあります。

(3)
前半は、教科書レベルの一次不定方程式です。後半にひとひねりありますが、Focus Goldあたりに類題があるので解けます。

(4)
円の接線を求める問題です。教科書に載っているので解けます。

(5)
Focus Goldあたりの対数に載っている問題なので解けます。

 

大問2

複素数平面の問題です。

(1)
まあ、複素数平面で絶対値が与えられていたら、2乗するのは、よくあります。そうすると、2次方程式の解と係数の関係を使うことが見えるので解けます。

(2)
znが実数になるnの最小値、といった問題は、類題がFocus Goldあたりに載っているので解けます。

 

大問3

確率の問題です。

(1)
まあ、ごく簡単な状況で「取り出された球が2個とも赤球である確率」という、教科書レベルとも言える問題なので、解けます。

(2)
ごく簡単な状況の条件付き確率の問題なので解けます。本文は簡単すぎますが、条件付き確率は、教科書やFocus Gold、チャート式あたりが、もう1つ入試っぽくないので、入試問題で慣れたほうがいいです。

 

大問4

ベクトルの問題です

(1)
点Pは平面ADH上にあるので、a、d、hベクトルで表して、係数を足して1、というFocus Goldに載っている話を使えば解けます。

(2)
特に類題は有名ではありませんが、ベクトルを使って、EJ:JFを求めれば、あとは図形的に小学生でもわかります。

(3)
(1)同様、点Pも点Qも、ある平面上にあるので、係数を足して1、というFocus Goldに載っている話を使えば解けます。

 

大問5

(1)
ごく簡単な数列の極限の問題なので、解けます。

(2)
数列の収束条件も、無限級数の収束条件も、教科書に載っているので、解けます。

(3)
ごく簡単な、無限等比級数の問題なので、教科書通りにやれば解けます。

 

大問6

(1)
前半は、整理すると、4次関数の最大値を求める教科書レベルの問題なので、解けます。後半は、2回微分すると、2次関数になり、その最大値を求めるという教科書レベルの問題なので解けます。

(2)
4次関数とx軸が囲む面積と、その部分をx軸周りに回転させた回転体の体積を求める問題です。教科書レベルの問題と言え、解けます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 

 一次試験は、試験時間は60分。配点は100/400です。

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Gold(独学で日大医学部のみを考える場合、黄チャートあたりでも良い)の日本大学医学部に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、日本大学医学部レベルの成績になっているはずです。
 日本大学医学部入試対策としては上記のように、教科書、Focus Goldをマスターし、過去問で入試問題に慣れ、『年度別入試問題集』(数研出版)の*(頻出標準問題)あたりで、さらに入試問題に慣れると、満点近くを取れるでしょう。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。
 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、日大医学部のみを考える場合、黄チャート本文の問題の網羅性を上げる、くらいで合格点に近づくと思います。

 ある予備校によると、1次突破ボーダーは80%程度か、とあります。しかし、上記のように、教科書を理解し、Focus Goldあたりをマスターすれば、満点を狙える出題なので、決して高いボーダーラインとはいえず、地道な学習で十分に突破可能でしょう。
 予備校の医学部クラスや医学部受験予備校に通いながら合格点を取れない人は、根本的に勉強のしかたを考え直しましょう。

 

 

2023年日本大学医学部N方式1期二次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
因数定理を使って、3次方程式を解くだけで、教科書レベルの問題と言え、解けます。

(2)
nの式が(1)と同じ形をしているので(1)を誘導と考えます。つまり、(1)の式を因数分解した形が、nが4の倍数でないとき、4の倍数であることを示します。このとき、nを4で割った余りで場合分けすればうまくいくのは、整数問題の基本で、教科書やFocus Goldに載っているので解けます。

 

大問2

(1)
放物線と双曲線の交点を求める問題なので、方程式を連立すれば解けます。

(2)
交点における接線が直交する問題です。傾きをかけると-1を使えば解けます。

(3)
2接線とx軸が囲む面積の最小値を求める問題です。愚直にやると、数3レベルの微分を使う最小値の問題になるので、解けます。

 

大問3

双曲線の問題です。

(1)
双曲線上のx≧2の部分にOP⊥OQとなる点を取れるためのQのx座標の条件を求める問題です。類題はあまり見ませんが、図でも書けばわかります。双曲線なので、漸近線が大切です。漸近線と直交する直線を考え、その直線と双曲線の交点よりx座標が大きければ、題意の点Qを取れることがわかります。

(2)
xが(1)の範囲の時、(1/OP2)+(1/OQ2)が一定になることを示し、その値を求める問題です。Focus Goldあたりの二次曲線には、似たような問題が、まず載っているので、本文も愚直に計算すれば、r、θを含まない定数になるのだろう、と見通しは立つと思います。極座標を使っているのが目新しいかと思いますが、いずれにせよ、愚直にやれば解けます。

(3)
xが(1)の範囲の時、PQの最小値を求める問題です。愚直に長さを求めに行きますが、受験数学というものは、上の小問の結果を使うのではないか、というのは、常に頭に入れておかなければなりません。本文も、(2)の結果を使います。少しだけ複雑ですが、難しくはないでしょう。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 二次試験は、試験時間は60分。配点は60/180です。
 ある予備校によると、正規合格ラインは60点満点中、45~50点か、とあります。しかし、上記のように、教科書を理解し、Focus Goldあたりをマスターすれば、満点を狙える出題なので、決して高いボーダーラインとはいえず、地道な学習で十分に突破可能でしょう。

 

 

2023年日本大学医学部N方式2期一次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
文字定数が入った2次方程式の重解条件と重解を求める問題です。教科書レベルと言え、解けます。重解は、解の公式の根号の中が0なので、-b/2a だけで出ることは知っておきましょう。

(2)
直線が円に切り取られる長さを求める問題です。Focus Goldあたりには、数値が違うだけの問題が載っているので、解けます。

(3)
620が何桁の数かを求める問題です。教科書に数値が違うだけの同じ問題が載っており、解けます。

(4)
文字定数a、bを含む2次方程式の1虚数解が与えられている時、a、bの値を求める問題です。共役な複素数も解であることと、解と係数の関係を使えば、すぐに解けます。

(5)
図形と方程式のところに載っている、領域と最大最小の問題で、両方とも円で考える問題です。Focus Goldあたりには同じ考え方で解ける問題が載っているので、同じようにやれば解けます。

 

大問2

2人が5回じゃんけんをして、あいこについての問題です。Focus Goldあたりには載っていますし、その場で考えても解けるでしょう。

(1)
あいこがちょうど3回になる確率です。教科書レベルの反復試行の問題なので、解けます。

(2)
あいこがちょうど3回連続する確率です。確率は、愚直に数え上げることも常に選択肢に入れます。1~3回、から、3~5回の3通りあることを数え、4回以上あいこが続かないように、他の回も考慮すれば、解けます。

 

大問3

三角関数の問題です。

(1)
f(x)の最大値、最小値を求める問題です。
例の、有名角で合成できない、合成の話になります。日大医学部は、なぜか、この有名角で合成できない話が頻出なので、過去問を研究して、対策をしましょう。Focus Goldあたりも載っているので、解けます。

(2)
f(x)を最小にするxの値をxmとするとき、sin2xmの値を求める問題です。(1)が正解できていれば、教科書レベルと言え、解けます。

 

大問4

ありがちな、図形と無限級数の融合問題です。教科書やFocus Goldあたりも載っています。

(1)
三角形の3辺の中点を結んでできた三角形の面積が次の項である場合ですから、教科書レベルの等比数列の問題と言え、解けます。

(2)
図を書いて、相似比を計算すれば、教科書レベルの等比数列の和の問題と言え、解けます。

(3)
本文の無限級数は収束するので、その値と問題文の値をイコールで結んで、方程式を解くだけなので、解けます。

 

大問5

四面体とベクトルの問題です。

(1)
三角形の重心の位置ベクトルを求める、非常に簡単な問題なので解けます。

(2)
(1)の重心GについてOGと三角形ABCの交点をPとした時、OP/OGを求める問題です。Pは平面ABC上にあるので、OA、OB、OCベクトルで現した場合、係数を足すと1になるという、例の話を使います。ほぼ同じ問題はFocus Goldあたりも載っているので、解けます。

(3)
分割した四面体の体積比を求める問題です。点Pが三角形ABCに対し、どの位置にあるかのベクトルによる考察は、似たような問題がFocus Goldあたりにも載っているので、できます。それにより、分割した三角形の面積比がわかるので、それが体積比になるので、解けます。

 

大問6

数3の微積分の問題です。

(1)
分数関数の極大値と極小値を求める問題です。微分して増減表を書くだけなので、解けます。

(2)
(1)の関数のグラフとx軸の囲む面積を求める問題です。定積分の計算も教科書レベルの組み合わせで、難しいとは言えず、解けます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

ある予備校によると、一次突破ラインは80%ほどか、とあります。しかし、上記のように、教科書を理解し、Focus Goldあたりをマスターすれば、満点を狙える出題なので、決して高いボーダーラインとはいえず、地道な学習で十分に突破可能でしょう。

 

 

2023年日本大学医学部N方式2期二次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)~(4)までありますが、いずれも教科書レベルの技法で解ける数3の定積分なので、解けます。

 

大問2

(1)
直線 y=x と曲線 y=x4の囲む面積を求めるので、定積分すれば解けます。

(2)
実際に定積分して面積Snを求めるだけなので正解できます。

(3)
階差数列の形になるので、階差数列を根本から理解していれば、スムーズに解けます。

 

大問3

楕円の問題です。

(1)
楕円と直線が共有点を持つ条件という教科書レベルの問題なので解けます。

(2)
この手の「中点」が登場する問題で、解と係数の関係を使う問題は、Focus Goldあたりにも載っているので、前半は解けます。後半は、問題文に従って式を立てれば解けます。

(3)
愚直に三角形の面積を表しに行くと、kについての二次関数になるので解けます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 ある予備校によると、正規合格ラインは60点満点中50点ほどか、とあります。しかし、上記のように、教科書を理解し、Focus Goldあたりをマスターすれば、満点を狙える出題なので、決して高いボーダーラインとはいえず、地道な学習で十分に突破可能でしょう。

 

 

2022年日本大学医学部N方式1期数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
いわゆる2次方程式の解の配置の問題で、Focus Goldあたりには似たような問題が載っているので、正解できます。

(2)
三角形の角の二等分線の長さを、面積に着目して求める問題は、Focus Goldあたりには載っているので、正解できます。

(3)
本文のような対数の文章題は、数研出版の教科書には載っているので、正解できます。

(4)
この程度の整式の割り算と余りに関する問題、しかも、本文同様、ωを使う問題もFocus Goldには載っているので、正解できます。

(5)
本文は、数Bの教科書の「確率分布」の「確率変数の変換」のところに載っており、知っていれば公式1発問題なので数秒で解けますが、習わなかった人が多いかと思います。その場合、厳しいかもしれません。

 

大問2

確率の問題です。(1)(2)ともに、普通にFocus Goldあたりを勉強していれば解けます。

 

大問3

三角形の3辺の長さが与えられている問題です。

(1)
本文のcosθを余弦定理で求めるのは、教科書レベルなので解けます。
cos2θは倍角を使うのも教科書レベルなので解けます。

(2)
慣れないとcos4θでびっくりするかもしれませんが、倍角をくり返し使うだけなので正解できます。

 

大問4

(1)
教科書の平面ベクトルに載っている問題ですし、メネラウスの定理でもいけるので、解けます。

(2)
外心は辺の垂直2等分線の交点ですから、ベクトルで内積0を使うのは、Focus Goldあたりには何問も載っており、解けます。

(3)
P、F、Qが同一直線上にあるので、AP、AFベクトルに変換して、例の「係数を足して1」を使う問題は、Focus Goldには載っているので解けます。
後半の三角形の面積の最小値は、前半を誘導と考え、相加相乗平均を使うと出ますが、少し気づきにくいかもしれません。

 

大問5

ありがちな図形と無限等比級数の融合問題です。Focus Goldあたりには、もっと難しい問題が載っているので、そのあたりを勉強していれば、本文も解けます。(3)は三角形の内接円の半径の話なので、教科書の三角比のところに出てくる、面積と内接円の半径の関係式を使えば解けます。

 

大問6

(1)
教科書レベルの微分なので、解けます。

(2)
61はグラフを連立して交点を求めるだけなので、解けます。62、63もf(x)の最小値を求めるだけなので解けます。64~67の面積は、xlog(x+1)の積分ができるかどうかですが、教科書の部分積分のlogxの積分のところでも、似たような流れの出題があり解けるでしょう。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 日本大学医学部数学は、近年、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くも狙えるような出題のことが多かったですが、2022年から入試の形式が変わりました。ただし、相変わらず、このN方式1期一次については、上記のように、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くを狙えます。合格点に足りない場合、医学部対策うんぬん以前に、教科書をしっかり理解して、ひたすらFocus Gold本文の問題を解けるようにしましょう。
 ある予備校によると、一次突破ラインは70%あたりだそうです。Focus Goldあたりを中心とした普通の勉強で、大幅に上回りますね。

 

 

2022年日本大学医学部N方式1期数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
導関数を求める問題が4問ありますが、いずれも教科書レベルなので、正解できます。出題意図がよくわからないレベルです。

(2)
等式の証明問題です。
2次方程式の解なので2次方程式に代入するのは高校入試レベルで、あとは、自然に代入して計算すれば証明できます。

 

大問2

(1)
簡単な無理関数の逆関数を求める問題です。教科書レベルなので解けます。

(2)
元の無理関数と逆関数の交点を求める問題です。これも教科書レベルなので解けます。2乗すると同値性が崩れることに注意しましょう。

(3)
元の無理関数と逆関数とy軸で囲まれる面積を求める問題です。これも、単に(上)ー(下)を定積分するだけで、教科書レベルと言え、解けます。

 

大問3

(1)
三角形の面積をθの関数として表し、最大値の時のcosθを求める問題です。面積は、それほど難しくないcosθについての分数関数になり、簡単に微分でき、最大値が求まるので、解けます。具体的な角θはわからないので、αとでも置くのは、わりとある話です。

(2)
点と直線の距離の最大値とその時のcosθを求める問題です。これは、例の有名角で合成できない三角関数の合成の話に帰着され、Focus Goldには載っていますし、日大医学部では、過去にも何度も出ています。式も難しくないので、解けます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 日本大学医学部数学は、近年、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くも狙えるような出題のことが多かったですが、2022年から入試の形式が変わりました。ただし、相変わらず、このN方式1期二次については、上記のように、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くを狙えます。合格点に足りない場合、医学部対策うんぬん以前に、教科書をしっかり理解して、ひたすらFocus Gold本文の問題を解けるようにしましょう。
 ある予備校によると、正規合格ラインは60点満点中45~50点あたりだそうです。Focus Goldあたりを中心とした普通の勉強で、十分に上回りますね。

 

 

2022年日本大学医学部N方式2期一次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
sinθとcosθの和が与えられて、sinθを求める問題は、Focus Gold本文には載っていませんが、章末問題には載っていますし、教科書準拠問題集などには載っていることが多いのではないでしょうか。いずれにせよ、類題は教科書レベルなので、なんとかして解きたいです。

(2)
2次不等式の解がすべての実数解になるようなmの値の範囲を求める問題です。Focus Goldあたりには、数値が違うくらいのそのままの問題が載っており、解けます。

(3)
複素数と対称式の融合問題です。分解すると、いずれも教科書~Focus Goldあたりに載っているので解けます。

(4)
サイコロをn回投げた時の最小値がいくつになる確率、はFocus Goldあたりに載っていて、それとごく簡単な条件付き確率の融合問題なので解けます。

(5)
円の方程式を求める問題で、中心が直線~上にある、も、軸に接する、もFocus Goldあたりに載っているので、解けます。

 

大問2

指数関数の問題です。

(1)
指数関数のxに値を代入するだけなので、解けます。この、指数にlogがくる形は、Focus Goldあたりに載っています。

(2)
指数方程式と「2次方程式の解の配置」の融合問題です。「2次方程式の解の配置」はFocus Goldあたりに載っているので、解けます。

 

大問3

ベクトルの問題です。

(1)
三角形の頂点から対辺に引いた垂線の足を求める問題です。このあたり、文字を使い、内積0で求める問題は、Focus Goldあたりに載っているので、解けます。

(2)
垂心を求める問題です。Focus Goldあたりにも垂心を求める問題は載っていますし、(1)の垂線上にあり、もう1回内積0を使うような問題も、Focus Goldあたりには何問も載っているので、解けます。

 

大問4

数列の問題です。

(1)
教科書レベルの等差数列を求める問題なので、解けます。

(2)
教科書レベルの、階差数列から元の数列を求める問題から、元の数列の第22項を求めるだけなので、解けます。

(3)
階差数列が部分分数分解する形で、教科書レベルの組み合わせと言え、解けます。

 

大問5

関数y=(logx)2についての問題です。

(1)
関数の最小値と極小値を求める教科書レベルの問題なので、解けます。

(2)
原点から引いた接線の接点の座標という教科書レベルの問題なので、解けます。

(3)
面積を求める簡単な問題なので、解けます。

 

大問6

円に二等辺三角形が内接している問題です。

(1)
前半は、三角形の内角の和がπであることを使う、中学生レベルの問題です。後半は、問題文にもsinが含まれるので、三角比を使うであろうことはすぐわかり、解けます。

(2)
前半は二等辺三角形の面積を求める問題ですが、2辺とその挟角がほぼわかっているので、すぐに正解できます。後半は、面積を使った極限の問題です。この形は、例のsinθ/θの極限を駆使する問題で、Focus Goldあたりには載っており、解けます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 日本大学医学部数学は、近年、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くも狙えるような出題のことが多かったですが、2022年から入試の形式が変わりました。ただし、相変わらず、このN方式2期一次については、上記のように、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くを狙えます。合格点に足りない場合、医学部対策うんぬん以前に、教科書をしっかり理解して、ひたすらFocus Gold本文の問題を解けるようにしましょう。
 ある予備校の講評では、一次突破ラインは80%前後か、とあります。Focus Goldあたりを中心とした学習で、十分に上回りますね。

 

 

2022年日本大学医学部N方式2期二次数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

整数問題です。

(1)
教科書レベルの一次不定方程式なので、解けます。

(2)
本問がそのまま、何かに載っているということは少ないでしょうが、似たような流れはFocus Goldあたりには載っており、絞り込んだ上で、あとは具体的に1つ1つ適しているか調べていく、という流れもFocus Goldあたりには載っているので、解けます。

 

大問2

関数y=exに関する問題です。

(1)
接線、接点を求める教科書レベルの問題なので、解けます。

(2)
法線を求め、三角形の面積を求めるだけで、やはり教科書レベルと言え、解けます。

(3)
囲まれた部分の面積を求める、やはり教科書レベルの問題なので、解けます。

 

大問3

放物線と直線lが異なる2点ABで交わり、ABの中点をMとする問題です。

(1)
中点Mの座標を求める問題です。この状況で解と係数の関係を使う問題は、Focus Goldあたりの「図形と方程式」に載っているので、解けます。

(2)
直線lと直交する直線mと放物線の交点のうち、x座標が負である点Cを求める問題です。このあたりから、Focus Goldあたりに類題がそのまま載っているわけではありませんが、状況は簡単なので、図を書けば解けると思います。ベクトルを使うと、より見通しがいいでしょう。

(3)
直線lのy切片bを求める問題です。点Cは放物線上にあり、点Mは直線l上にあることから、求まります。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 日本大学医学部数学は、近年、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くも狙えるような出題のことが多かったですが、2022年から入試の形式が変わりました。ただし、相変わらず、このN方式2期二次については、上記のように、大問3(2)(3)は類題がそのまま載っているわけではありませんが、状況はわかりやすく、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くを狙えます。合格点に足りない場合、医学部対策うんぬん以前に、教科書をしっかり理解して、ひたすらFocus Gold本文の問題を解けるようにしましょう。
 ある予備校の講評では、正規合格ラインは60点満点中45~50点か、とあります。Focus Goldあたりを中心とした学習で、十分に上回りますね。

 

 

2021年日本大学医学部数学:難易度、どうすれば解けたか

 

大問1

(1)
教科書レベルの2次関数に帰着させる対数関数の最小値の問題なので正解できます。

(2)
教科書レベルの確率、期待値の問題なので、正解できます。

(3)
命題の真偽を判断する問題です。いずれも偽ですが、Focus Goldあたりには、このような反例を見つける問題は載っており、正解できます。

(4)
内接四角形の対角線と面積をもとめるというFocus Goldあたりには、数値が違うくらいの問題がそのまま載っている問題なので、正解できます。余弦定理を2回使います。

 

大問2

(1)
分数型漸化式です。Focus Goldあたりには、数値が違うくらいの問題がそのまま載っている問題なので、正解できます。逆数を取ります。

(2)
sin2x、sinxcosx、cos2xを含む三角関数の最大最小はこうやる、というのはFocus Goldあたりには、数値が違うくらいの問題がそのまま載っている問題なので、正解できます。半角と倍角を使い2xにして、合成します。

(3)
ベクトルを使います。CがAB上にある、OHとABが直交する、どうするかの問題は、Focus Goldあたりには、何問も載っているので、正解できます。

(4)
無理関数と直線の共有点の個数と座標を求める問題です。教科書レベルなので正解できます。2乗すると同値性が崩れることに注意しましょう。ただ、日本大学医学部の前半の小問では、近年、数3の範囲は出ていなかったので、今後注意しましょう。

 

大問3

(1)
数3基本レベルの三角関数の最大最小の問題なので、正解できます。

(2)
原点と極値の座標を3頂点とする三角形の面積を求める問題です。教科書に載っている公式を使えばいいので解けます。日本大学医学部は三角形の面積を求める問題が多いですね。

(3)
sin2α+cos2α=1と連立すれば解け、そのような問題はFocus Goldあたりには載っていますが、盲点になりがちかもしれません。後半の面積は定積分するだけです。本問のように、交点の角が具体的にわからなくても、αなどと置けば面積が求まる問題は、Focus Goldあたりには載っています。

 

大問4

(1)
数2教科書レベルの3次関数の極大値を求める問題なので正解できます。

(2)
数2教科書レベルの面積を求める問題なので正解できます。

(3)
前半は4次方程式を解くだけですが、少し工夫が必要です。まあ、因数定理でもゴリゴリ行けるので、正解できます。後半は、接線を求め、x軸との交点を求めるだけです。

 

大問5

図形と無限等比級数の融合問題です。類題は、Focus Goldあたりには、無限等比級数の分野のみならず、類題が何問か載っています。

(1)
余弦定理を使うだけなので、正解できます。
ただし、ものの本には、このような円の中心角と三角形の話は正弦定理を使え、と書いてあるものもあり、本問もそちらのほうが(2)も統一的に解けます。

(2)
(1)で上記のように正弦定理を使うと、簡単に漸化式を立てることができ、あとは簡単な収束する無限等比級数の計算なので、正解できます。

(3)
ちょっと難しいかもしれませんが、円の共通部分の面積は、求まるように分割し、足し引きするような解き方は、旧センター試験などでも出題されていました。あとは、簡単な収束する無限等比級数の計算なので、正解できます。

 

日本大学医学部数学の勉強法と傾向と対策

 日本大学医学部数学は、近年、Focus Goldあたりを勉強していれば、満点近くも狙えるような出題のことが多いです。合格点に足りない場合、医学部対策うんぬん以前に、教科書をしっかり理解して、ひたすらFocus Gold本文の問題を解けるようにしましょう。
 ある予備校によると、目標は75%だそうです。Focus Goldあたりを中心とした普通の勉強で、大幅に上回りますね。

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

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【2024】北海道大学数学(医学部・理系) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

【2024】北海道大学数学(医学部・理系) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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大学受験の数学の勉強法・参考書

東北大学数学(医学部・理系)

名古屋大学数学(文系・医学部・理系)

 

北海道大学入試の数学で悩んでいる人へ

 北海道大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、北海道大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、北海道大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

北海道大学医学部・理系入試における数学の重要性

 北海道大学医学部(面接除く)、理系二次試験前期の数学の配点は、150/450です。見た目だけでも、配点の1/3を占めていますね。 
 また、2024年のように、難易度がBBBBBの場合、Focus Goldあたりを網羅している人は、ほぼ全問解けるので、数学が苦手な人は、かなり、差をつけられてしまいます。一方、2023年のように、BBCCCだと、後ろの3問は、並の医学部合格者では完答はできないでしょうから、やや、差はつきにくい可能性もあります。
 さらに、数学は、大問が5つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、特に医学部あたりだと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、北海道大学医学部・理系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

北海道大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 北海道大学の数学は、当然、難しい出題もあります。年によりますが、最初から、全く方針が立たないこともあるでしょうし、完答できなそうな問題など、珍しくありません。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年北海道大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 現在、北海道大学医学部は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、十分に合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
三角関数と軌跡の融合問題です。

(1)
点Pと点Qが一致するtの値をすべて求める問題です。
x座標とy座標が一致すれば点が一致すると言えますから、そうすると、教科書レベルの三角方程式に帰着されるので、解けます。
角に制限がなく、一般角で答えることに気をつけたいです。この話も教科書レベルです。

(2)
点Pの軌跡を図示する問題です。
tを消去し、xとyの関係式を導き、軌跡を求める問題は、数2だと、Focus Goldあたりには載っていますし、数3だと教科書レベルです。そして、本問の三角関数は、かなり簡単にtを消去できそうな形なので、解けます。軌跡は、数3の放物線になります。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
反復試行、条件付き確率あたりの確率の標準問題です。

(1)
愚直にすべての場合を書き上げると、すべて、反復試行の話になります。排反なので、単に足せばいいので、解けます。

(2)
条件付き確率の問題です。
本問も、愚直にすべての場合を書き上げると、すべて、反復試行の話になります。排反なので、単に足せばいいので、解けます。
完答しましょう。

ただし、確率は、教科書、Focus Goldが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後や過去問あたりで補強したほうがいいでしょう。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
積分と数列の融合問題です。

(1)
教科書レベルの特性方程式で解く2項間漸化式です。教科書に載っているので、解けます。

(2)
数2の教科書に載っている「定積分は定数と置け」の問題と数列の融合問題です。類題は、Focus Goldの本文には載っていませんが、「数列」の節末問題には載っています。また、大学入試数学において、頻出なので、入試問題集には載っていることが多いと思います。したがって、普通に受験勉強をしていれば解けます。途中、(1)の漸化式が出てきます。だいたい、(1)のような小問は、誘導、ヒント、親切心と考えましょう。
完答しましょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。
ベクトルの問題です。

(1)
三角形の辺ABの長さを求める問題です。
格言「ベクトルの大きさは2乗せよ」で解決します。類題はFocus Goldあたりには載っているので、解けます。

(2)
三角形の内心をベクトル表示する問題です。
ほぼ同じ問題がFocus Goldあたりには載っているので、解けます。

(3)
三角形と内接円の接点をベクトル表示する問題です。
垂直なので、内積0を使えばいいので解けます。また、円外の点から円に引いた接線の長さは等しいことを使っても解けます(高校入試で使うような技法)。
完答しましょう。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の微積分の問題です。

(1)
愚直に教科書通り、接線の方程式を求めるだけなので、解けます。

(2)
グラフが下に凸であることを示す問題です。
教科書に書いてあるとおり、第二次導関数が正であることを示せばいいだけなので、正解できます。

(3)
囲む面積を求める問題です。
愚直に積分すればいいだけなので、解けます。途中、置換積分をすると見通しがいいです。
完答しましょう。

 

北海道大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 北海道大学医学部・理系の数学は、大問5問、試験時間120分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBBBBBと、医学部合格レベルの人であれば、満点も狙える出題でした。ただし、2023、2022などは、それなりに難易度C問題も出ていて難しかったと言えます。ただ、それでも、難易度C問題を完答できる人は医学部合格者でも少ないので、B問題の完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、十分合格点を超えます。
 非医学部の人は、なおさら、かなりの余裕を持って、合格点を超えます。
 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでもいいでしょう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 数3の微積分は、おそらく毎年出題されます。ベクトル、確率もよく出ている印象です。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

北海道大学医学部・理系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Goldの北海道大学医学部・理系(非医学部の場合、黄チャートあたりでもいいでしょう)に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、北海道大学医学部・理系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率、ベクトルなどの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Gold、黄チャートや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2023年北海道大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
複素数平面の問題です。

(1)
「すべての自然数nに対して」と問題文にあるので、数学的帰納法を選択肢に入れるのは、普通に教科書やFocus Goldを勉強していれば大丈夫だと思います。あとは、やや複雑ですが、答案の枠組みは教科書通りなので、正解できます。

(2)
極限との融合問題です。
点Oが円内にあるか、円外にあるかで式が変わってくるのがポイントですが、それ以外は簡単なので解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
空間ベクトルの問題です。

(1)
線分APの長さを求める問題です。
2点間の距離と3平方の定理を使えばいいだけなので、解けます。

(2)
点Pの座標を求める問題です。
(1)でAPの長さを求めていますし、内積0が2回使えます。したがって、P(x,y,z)と置いても、式が3本立ちます。これは、教科書に載っている問題と全く同じ状況なので、解けます。

(3)
球面Sと直線OCの交点の座標を求める問題です。
交点は直線OC上にあるのでk倍のOCベクトル、などと置くのはベクトルでは大切な技法です。しかも、ほぼ本問の設定の問題がFocus Goldあたりには載っているので、解けます。
完答しましょう。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
数3の微分の問題です。

(1)
数3ではよく見る関数と、定数kの交点の個数で、方程式の実数解の個数を求める、教科書やFocus Goldレベルの問題なので解けます。

(2)
このような問題は(1)を誘導だと考えましょう。すると、左辺はf(x)f(y)という形をしています。あとは、普通にやれば解けます。

(3)
本問も左辺は(2)と同じ形をしています。そして、素直に問題文にしたがって進めると、(1)のf(x)のグラフを使える形になるので、解けます。
特に、数3は、このような誘導形式の問題が多いです。医学部志望なら完答を目指したいところですが、定型的ではないので、難易度Cなのかな、と思います。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率の問題です。

(1)
本問の状況を把握するところから、まず、難しいです。ただ、把握してしまうと、Focus Goldなどに載っている「サイコロの目が、等しいを含め、だんだん大きくなる場合の数」の話に帰着されます。これは、重複組合せの問題です。
状況をうまく把握できなくても、愚直に絶対値を外しにいけば、何とか解けると思います。
本問はなんとか確保したいです。
このような問題のコツは、まずは、具体的な数で、いろいろ試してみることですね。

(2)
(1)で状況を把握できている場合、把握できていることをきちんと説明し、上記の「サイコロの目が、等しいを含め、だんだん大きくなる」が解答となります。
状況を把握できていないと、しんどいかな、と思います。
ただ、合格には満点が必要なわけではないので、他の大問でがんばれば良かったと思います。

(3)
ここまで到達していれば、状況を把握できているはずです。
(1)同様の重複組合せの問題なので、解け、完答できます。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はC。
図形と方程式、その他の融合問題です。

(1)
方程式の解がある範囲に存在することを示すので、考え方としては、教科書レベルの中間値の定理でいけばいいので、解けます。

(2)
直線に関して点と対象な点を求める問題です。数2の教科書の「図形と方程式」に載っているので解けます。さすがに、教科書よりは、設定が複雑で、もう少しいろいろしなければいけませんが、問題文を読んで素直に式を立てるレベルなので大丈夫でしょう。

(3)
前半は、3点A,P,Dが同一直線上にあるようなθが少なくとも1つ存在することを示す問題です。
素直に教科書やFocus Goldと同じように、ベクトルの共線条件を使うと、(1)の式が出てくるので、示せます。(1)を見た時点で、後で使うのだろう、と思えるようにしましょう。
後半は「ただ1つ」と問題文が変わります。(1)の中間値の定理から考えて、この区間で単調増加なら、示せることになります。ただ、この単調増加性を示すのが、それほど定型的ではないので、難しいと思います。
(3)前半までで、十分合格点でしょう。
ただ、本問のように、やや強引に相加相乗平均を使えば(本問は他にもアプローチがありそうですが)いける問題は、特に上位私大医学部あたりで、たまに見ます。検討の価値はあるかもしれません。

 

北海道大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 2023年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBBCCCと、後半の完答は厳しかったと思います。医学部志望の人は、大問1,2を完答。大問3を半分ほど。大問4(1)。大問5(3)前半まで、ほどで、十分、合格点を超えたでしょう。
 非医学部の人は、もう少し、ポツポツ失点しても大丈夫だったでしょう。

 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでもいいでしょう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2022年北海道大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はC。
絶対値つき二次関数の問題です。

(1)
a、bがどのくらいかが問題文に書いてあるので、愚直に場合分けをして絶対値を外しても解けます。
また、もうちょっと、直観的な考察でも行けそうです。
本問は確保したいです。

(2)
(1)で愚直に場合分けをして絶対値を外している場合、ほぼ、すでに解答が出ています。
いずれにせよ、ここで愚直に場合分けをして絶対値を外すことになります。
本問も確保したいです。

(3)
a、bが動く時の、最小値mの最大値を求める問題です。
ここが、あまり定型的ではないので、難易度Cなのだと思います。
できるだけ部分点を確保する、という方針で、医学部でも合格点でしょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
ベクトルと漸化式の融合問題です。

(1)
理論上は、ベクトルなので、Oを起点として(終点)ー(始点)で変形して、問題文からx座標についての漸化式の話らしいので、x成分について式を立てると、正解できます。
本問は、問題文に、n+2、n+1、nとあるので、漸化式の技法を駆使して、なんとか確保したいですが、意外に難しいかもしれません。

(2)
(1)ができれば、Focus Goldに載っている漸化式の技法で解けます。

(3)
(1)同様に、y成分について式を立てると、(2)同様に、Focus Goldに載っている漸化式の、また違った技法で解けるので、理論上は解けるのですが、計算も複雑で、実戦的には、完答はかなりきついかと思います。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
領域、数3の微積分の融合問題です。

(1)
領域を図示する問題です。
2つ目の不等式の左辺と中辺については、対数を使いますが、理系なら慣れているでしょう。あとは、増減表を書いてグラフを書くのは、Focus Goldレベルと言えるので、解けます。

(2)
(1)とはまた違った領域の面積の最小値を求める問題です。
(1)と似ているので、(1)を使えますが、それにしても場合分け、積分計算などが大変で、完答は厳しいでしょう。早めに切り上げて、他の大問で、がんばったほうがいいと思います。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。
円順列の確率の問題です。

(1)
時計回りにHOKKAIDOと並ぶ確率です。
円順列は難しい問題ほど、1つを固定したほうが見通しがいいです。これは、教科書にも書いてある考え方ですし、Focus Goldあたりにもそういう問題は載っています。本問は、頭のHを固定でいいでしょう。あとは、教科書~Focus Goldレベルと言え、解けます。OとKが2つあることに注意しましょう。

(2)
隣り合う子音が存在する確率を求める問題です。これは余事象を取って「どの子音も隣り合わない」を考えます。すると、Focus Goldあたりに載っている「母音の間と両脇に入れればどの子音も隣り合わない」という技法を使えるので、解けます。

(3)
隣り合う子音が存在するとき、それがKKだけである条件つき確率の問題です。
KKを1かたまりと見るのは、教科書レベルというか、高校入試レベルでしょう。あとは、(2)同様、Focus Goldあたりに載っている「間と両脇に入れればどれも隣り合わない」を使えばいいので解けます。
完答しましょう。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はA。
複素数平面の問題です。

(1)
複素数Zが表す図形を図示する問題です。教科書レベルと言えるので、解けます。

(2)
問題文の方程式の共通解を求める問題です。(1)の図形の交点を求めるだけなので、教科書レベルと言え、解けます。

(3)
複素数のn乗が負の実数になるための整数nの必要十分条件を求める問題です。実軸の負の部分にあればいいわけで、ド・モアブルの定理を使います。似たような問題はFocus Goldあたりに載っているので、解けます。
完答しましょう。

 

北海道大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 2022年は月刊『大学への数学』誌の難易度がCCCBAでした。前半が難しいと、精神的ダメージを受け、解けるはずの後半もうまく行かなかった、という人も、それなりにいたかもしれません。人間は、そのようにできているようなので、大学入試の数学については、柔軟な姿勢でありたいです。
 非医学部の人は、もう少し、ポツポツ失点しても大丈夫だったでしょう。

 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでもいいでしょう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

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【2024】東北大学数学(医学部・理系) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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東北大学入試の数学で悩んでいる人へ

 東北大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、東北大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、東北大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

東北大学医学部・理系入試における数学の重要性

 東北大学医学部医学科、二次試験前期の数学の配点は、600/1800です(面接除く)。見た目だけでも、配点の1/3を占めていますね。 
 さらに、数学は、大問が6つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Goldあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、特に医学部あたりだと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、東北大学医学部・理系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

東北大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 東北大学の数学は、当然、難しい出題もあります。年によりますが、最初から、全く方針が立たないこともあるでしょうし、完答できなそうな問題など、珍しくありません。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年東北大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 現在、東北大学医学部は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、十分に合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はA。
数2の微積分の問題です。

(1)
つまるところ、放物線と直線の交点、放物線の接線を求める問題です。すべきことは教科書レベルと言えるので、解けます。

(2)
放物線といくつかの直線で囲まれた面積を求める問題です。三角形の面積を使うと、計算がかなり楽になります。つまるところ、積分して面積を求めるだけなので、解けます。

(3)
(2)の面積が2/3になるときのaの値を求める問題です。そのような式を立てれば簡単に答が出るので、解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
不等式の証明の問題です。
第一感は、教科書通り、(左辺)ー(右辺)をすることですよね。それと、問題文の条件をうまく使うと、証明できるので、正解できます。

(2)
「正の整数n」についての問題なので、整数問題と捉えることもできますし、数学的帰納法も選択肢に浮かぶでしょう。
整数問題で、最初のいくつかを具体的に試してみて、その後を帰納法で示す、という問題は、近年、旧帝国大学、一橋あたりで結構出題されていて、Focus Goldあたりにも少し載っているので、正解できます。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率漸化式の問題です。

(1)
まだ、最初の2回を具体的にやるだけと、簡単な2項間漸化式を立てるだけなので、解けます。

(2)
(1)の結論を使うと、意外に簡単に解ける形になるので、解けます。
ただし、Focus Goldあたりで漸化式に慣れておくことが大切だと思います。

(3)
これも(1)のの結論を使うと、意外に簡単に解ける形になるので、解けます。

(4)
話を進めると、問題文は、複素数の実部が0、虚軸上にあることと同値であることがわかります。ド・モアブルの定理を使います。このような問題は、Focus Goldあたりの複素数平面には載っているので、解けます。
難易度はCですが、解けそうなので、医学部志望者は完答を目指しても良かったでしょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はC。
球面の問題です。

(1)
2点間の距離を求めるだけの教科書レベルの問題なので解けます。

(2)
2球が交わりを持つことは、教科書の2円の話と同じように考えれば示せます。
後半の、交わりの図形の円の中心と半径を求める問題は、三平方の定理とベクトルを駆使すれば、そう難しくないので、解けます。

(3)
本問は、xy平面と平面Hの両方に並行で、大きさ1のベクトルを求める問題です。教科書の空間ベクトルには、2ベクトルと垂直で大きさ◯のベクトルを求める問題が載っているので、同じように考えれば解けます。

(4)
本問は、言われればそれほど難しくありませんが、実戦的には大変だと思います。実戦的には(3)まで確保で、医学部でも合格点でしょう。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の微分の問題です。

(1)
微分の計算をするだけなので、枠組みは教科書~Focus Gold基礎レベルと言え、解けます。

(2)
方程式の解がα≧2以上にただ1つ存在することを示す問題です。増減表を書いて、x軸とx≧2でただ1回交わることを言えばいいだけなので、解けます。まあ、難しくないと思いますが、教科書の中間値の定理は、1つのヒントになるでしょう。全国的には類題は入試でよく出題されています。

(3)
グラフの概形を書く問題です。愚直に増減表を書いてグラフを書くだけなので、教科書、Focus Goldあたりの学習で書けます。

(4)
大学受験数学においては、このような小問集は、上の小問の結論を使う、という考え方が大切です。
上に出てくる2x-3と本問の2m-3、2n-3が似ていることに注目しましょう。また、本問は、Focus Goldあたりに載っている有名問題である、たとえば、eπとπeの大小を示す問題と同じような問題であることに気づきましょう。そうすると、同じように考えれば解けます。
完答しましょう。

 

第6問

『大学への数学』誌の難易度はD。
空間ベクトル、数3の極限、微積分の問題です。

(1)
線分PRの長さをθで表す問題です。
点PQRは同一直線上にあるので、k倍とでも置くのは、Focus Goldあたりでよく使う技法なのでいいと思います。
あとは、Rが平面H上にあることを使えばいいので、解けます。
本問は確保したいです。

(2)
不等式の証明の問題です。
与えられた不等式と図形を結びつけて考えれば、そこまで難しくないとも言えますが、実戦的には難しいかもしれません。

(3)
円錐の側面と曲線で囲まれた面積を求める問題です。
(2)の理解の上で、不等式の中辺を見ると、微分の定義の分子の形をしているので、それを使うと、理論上は解けますが、理解も計算も、なかなか大変で、完答は厳しいでしょう。難易度Dといっていいかと思います。

 

東北大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 東北大学医学部・理系の数学は、大問6問、試験時間150分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がABCCBDでした。難易度C、D問題を完答できる人は医学部合格者でも少ないので、B問題の完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、十分合格点を超えます。2024年は、医学部の場合、大問1,2,5は完答。3は完答に近い部分点。4は(3)まで。6は(1)を確保し(2)で部分点、といった方針で、十分に合格点を超えたかと思います。
 非医学部の人は、なおさら、かなりの余裕を持って、合格点を超えます。
 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでもいいでしょう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

東北大学医学部・理系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Goldの東北大学医学部・理系(非医学部の場合、黄チャートあたりでもいいでしょう)に重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、東北大学医学部・理系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、Focus Gold、黄チャートや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2023年東北大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はA。
確率の問題です。

(1)
問題を把握して、普通に計算するだけなので解けます。

(2)
Aが勝つ場合を愚直に数え上げて、排反なので足せばいいので、解けます。
完答しましょう。
本問は簡単だと思いますが、確率はチャート式、Focus Goldあたりが弱い分野なので、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)前後、や『合格る確率』(文英堂)をこなし、東北大医学部レベルで合否を分けているレベルの入試問題に取り組むといいでしょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
3倍角を含む、三角方程式の問題です。
和積公式か3倍角の公式を使えば解ける形になるので、解けます。「正の実数のうち最小のもの」という、ほんの少しだけひねりが入っていますが、ほぼ同じ問題は、教科書準拠問題集あたりにも載っている可能性は高いと思います。

(2)
数3の極限の問題です。
まあ、このような極限は、はさみうちでいきます。
そして本問を進めると、ガウス記号が出てきます。ガウス記号を含む、はさみうちでいく極限の問題は、Focus Goldあたりには載っているので、解けます。
完答しましょう。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数列の問題です。

(1)
漸化式を解く問題です。
この形の「両辺に何かをかけると2項間の関係が現れる」問題は、Focus Goldあたりには載っているので、解けます。

(2)
数列の和を求めるのがメインの問題と言えます。
途中、部分分数分解になりますが、教科書レベルなので、解けます。
完答しましょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
整式の割り算の問題です。
愚直に割り算をして、余りが0を示すのはいいと思います。
その時に、問題文の式を見て、Focus Goldあたりには載っている「次数下げ」の技法と同じ話を使おうと思うはずです。それで余り0を示せるので解けます。

(2)
方程式の虚数解で虚部が正のものを極形式で表す問題です。
問題文にも1の5乗根についてのヒントが書いてあります。また、(1)の整式に(x-1)をかけるとx5-1になるのは、Focus Goldあたりの複素数平面には載っており、この形は入試でも頻出です。
1の5乗根を求めるのは教科書レベルです。「虚部が正」の考察も、複素数の虚部の話はFocus Goldあたりには載っているので、その方針で解けます。

(3)
式の値を求める問題です。2023年の出題なので、2023乗が出てきます。
複素数平面の話を使うという特殊性はあると言え、複素数平面では普通の技法ですし、あとは、数1のFocus Goldあたりに載っているので解けます。
完答しましょう。

 

第5問

『大学への数学』誌の難易度はA。
ベクトルの問題です。

(1)
内積の定義と垂直なので内積0という教科書レベルと言える話なので、解けます。

(2)
本問のように、四面体の頂点から底面に垂線を下ろす問題は、Focus Goldあたりには載っているので解けます。

(3)
平行であることを示すのは、普通、実数倍と書けることを示します。これは教科書レベルです。
点Kも(2)同様、四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足なので、位置ベクトルが求まります。したがって解けます。
完答しましょう。

 

第6問

『大学への数学』誌の難易度はC。
数3の微積分の問題です。

(1)
多少、簡単な条件はありますが、接線を求めるだけなので、教科書レベルと言え、解けます。

(2)
図形Sの概形を書くのは、微分して、増減表を書いて、グラフを書けばいいので、まあ、教科書レベルとも言え、行けると思います。
その後、面積を求めるのが、分析がやや難しく、計算が面倒なので、理論的には完答も可能なのですが、難易度Cなのだろうと思います。
(2)の図形Sの概形を書き、その後、どれだけ情報を答案に書いて、部分点を積み上げるか、が大切だったかと思います。

 

東北大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 2023年は月刊『大学への数学』誌の難易度がABBBACでした。難易度C問題を完答できる人は医学部合格者でも少ないので、B問題の完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、十分合格点を超えます。2023年は、医学部の場合、時間との戦いはありますが、理論上は、大問1~5は完答。6は(2)の途中まで行けるような出題でした。ただ、それよりもポツポツ失点しても、十分合格点でしょう。
 非医学部の人は、なおさら、かなりの余裕を持って、合格点を超えます。
 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでもいいでしょう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、『Focus Gold』(啓林館)あたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

 

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

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【2024】名古屋大学数学(文系・理系・医学部) 難易度と傾向と対策:教科書+Focus Goldで合格へ

 

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名古屋大学入試の数学で悩んでいる人へ

 名古屋大学数学の難易度、また、どのような参考書をマスターすれば合格点を取れるかがわからずに、悩んでいませんか?
 実は、名古屋大学の数学は、教科書の理解、基本問題とFocus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで、ほぼ合格点をとれます。(さすがに、少し、補強が必要です。)
 この記事を読むと、名古屋大学数学の難易度(月刊『大学への数学』誌のものも併記してあります)、どのように勉強すれば合格点を取れるか、どこまで解ければいいのか、を知ることができます。

 

名古屋大学文系入試における数学の重要性

 名古屋大学文系二次試験前期の数学の配点は、法学部、経済学部、教育学部は全体の1/3です。(文学部は配点が低くなっています。)見た目だけでも、大切そうですね。 
 また、2024年のように、難易度がABCの場合、黄チャートあたりを網羅した上で入試標準問題演習をしている人は、かなりの高得点を取れるので、数学が苦手な人は、かなり、差をつけられてしまいます。
 さらに、名大文系数学は、大問が3つしかありません。他の受験生が解けている問題が、黄チャートあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、名古屋大学文系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

名古屋大学医学部・理系入試における数学の重要性

 名古屋大学文系二次試験前期の数学の配点は、医学部は600/1800、理学部は600/1500、工学部は500/1300と全体の1/3以上となっています。見た目だけでも、大切そうですね。 
 また、2024年のように、難易度がBCBCの場合、Focus Gold、黄チャートあたりを網羅した上で入試標準問題演習をしている人は、かなりの高得点を取れるので、数学が苦手な人は、かなり、差をつけられてしまいます。
 さらに、名大理系数学は、大問が4つしかありません。他の受験生が解けている問題が、Focus Gold、黄チャートあたりに抜けがあることにより、白紙になり、0点だと、その失点を他科目で取り返すのは、かなり厳しいと言えます。
 以上より、名古屋大学医学部・理系入試における数学の重要性がわかると思います。

 

名古屋大学数学、入試本番の心構え

 以下のことは、どこの大学の入試の数学でも、このような傾向があります。
 名古屋大学の数学は、当然、難しい出題もあります。年によりますが、最初から、全く方針が立たないこともあるでしょうし、完答できなそうな問題など、珍しくありません。
 そのような時に、解けなそうな問題をみて、戦意を喪失しないことです。人間は、そのような心持ちになるだけで、パフォーマンスが低下することが、大学の研究で明らかになっています。ちゃんと勉強した受験生の場合、解けなそうな問題を見たら「他の受験生も解けないな」と思って、軽く流し、解けそうな問題を確実に解く、部分点を取る、ということを心がければ、合格点を取れます。

 

2024年名古屋大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 名古屋大学文系は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより、はっきり入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、大きく合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はA。
3次方程式の問題です。

(1)
3次方程式の実数解を求める問題で教科書レベルとも言えるので、解けます。ただし、因数定理でxに5を代入するのが、やや難しいかもしれません。このような時は、まずは、定数項の約数から代入していく、という話が、Focus Goldのコラムあたりには書いてあります。

(2)
対称式p3+q3の変形は、教科書レベルと言えるので解けます。

(3)
このような問題は、上の小問の結論を使うのではないか、と考えましょう。
まず、本問の与式を変形すると(2)の形になります。その後、(1)の3次方程式が現れます。したがって解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
二次関数、図形と方程式あたりの問題です。

(1)
2次関数の最大値を求める問題です。平方完成するだけで、教科書レベルとも言えるので、解けます。

(2)
ひとひねりはありますが、つまるところ、放物線と直線が交点を持つ条件の問題です。教科書レベルと言えるので、解けます。

(3)
前半は、愚直に2点間の距離を求めて計算するだけなので、教科書レベルと言えるので解けます。
後半は、不等式ですが、普通にやれば解けます。
完答しましょう。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率の問題です。

(1)
裏がn回出た時の座標を求める問題です。
初見でも行けるでしょうし、教科書の反復試行のところに、まずこの話をする問題が載っているので、解けます。

(2)
(1)はヒントだと考えましょう。すると、裏が出るのが2回と決定します。
前半は、簡単な反復試行の話なので、解けます。
後半は、本問のメカニズムを理解すると、見通しよく解けますし、そうでなくても、愚直にゴリゴリやっても解けそうです。

(3)
本問も(1)より、裏が出るのが2回と決定します。
あとは、(2)同様、メカニズムを理解すると、見通しよく解けますし、そうでなくても、愚直にゴリゴリやっても解けそうです。
数学が得意な人なら完答できそうですが、本問のメカニズムを理解するのがやや難しいので、難易度Cなのかな、と思います。

 

名古屋大学文系数学の勉強法と傾向と対策

 名古屋大学文系の数学は、大問3問、試験時間90分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がABCでした。難易度C問題を完答できる人は、東大理系や名大医学部合格者でも少ないので、B問題の完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、名大文系なら、大きく合格点を超えます。2024年は大問1,2を完答。3で部分点、という方針で、十分合格点を超えたでしょう。ただ、大問1,2が易しめだったので、なるべく大問3で部分点を多く取りたかったと思います。
 以上は、黄チャートあたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。
 ただ、名大の確率は、状況がやや複雑な独特なものが多いので、名大の過去問を多く集めて取り組むといいと思います。他大の過去問でも名大に対応できるような問題は出題されています。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

名古屋大学文系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、黄チャートあたりの重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、名古屋大学文系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な東大理系や名大医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、黄チャートや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2024年名古屋大学医学部・理系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

 月刊『大学への数学』誌(東京書籍)では、難易度をA(易)~D(難)にレベル分けしています。Bが教科書の理解とチャート式、Focus Gold(啓林館)あたりの技法の組み合わせで完答でき、発想力といったものはいらない問題です。東大は成績を開示し、東大新聞はかつて合格者の平均点を調査していました。Bを完答、CもBレベルの部分点で合格者平均を超えます。
 現在、名古屋大学医学部は、東大理Ⅰ、理Ⅱあたりより入りやすいと言えるので、Bを完答、CはBレベルの部分点、という戦略で、十分に合格点を超えることができます。

 第三者の評価も加え客観性を持たせるために、この評価も併記します。
 大学受験塾チーム番町では、普通の塾、予備校のように、入試問題の解き方を解説しても、あまり意味はないと考えます。どのように勉強すれば、大学入試の数学で合格点を取れるのか。それを、正解に必要な技法が、教科書、チャート式、Focus Gold(啓林館)に載っているか、という独自の観点から分析します。

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。
数3の微分と整数の融合問題です。

(1)
関数の極値を求める問題です。微分して増減表を書くだけなので、教科書レベルと言え、解けます。

(2)
曲線外から曲線にちょうど2本接線を引けるtの値を求める問題です。
同様の問題が、整関数では数2のFocus Goldあたりに載っていますし、数3のFocus Goldあたりにも載っているので、解けます。

(3)
整数問題です。
(2)の結論を使えば、ごく基本的な整数問題なので、解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はC。
複素数平面の問題です。

(1)
文字入りの3次方程式を解くだけの問題です。教科書にも載っている「最低次の文字について整理」の格言で因数分解すればいいので、教科書レベルと言え、解けます。

(2)
方程式の解のうち、実部が最大のものを求める問題です。
p(z)とq(z)は形が似ているので、(1)はヒントではないかと考えます。すると(1)の結論を使えるので、解けます。
このように、数学の小問集では、「上の小問の結論を使う」ことから逆算して考えるとうまくいくことが多いです。

(3)
2方程式の共通解と、その時のcの値を求める問題です。
定型的ではありませんが、普通に、解が一致する、といった考察で解けます。
難易度C問題ですが、完答も狙えると思います。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はB。
空間ベクトルの問題です。

(1)
内積を求める問題です。教科書レベルなので解けます。

(2)
原点から平面Hに下ろした垂線の足を求める問題です。
Focus Goldあたりには、四面体の頂点から底面に下ろした垂線の足を求める問題が載っていて、2文字使っても、内積0を2回使えるので、解けます。

(3)
問題自体は定型的ではありませんが、(2)同様、2文字使い(しかも定める必要がない)、同一直線上にあるので、係数を足して1、などといったFocus Goldあたりに載っている技法を使えばいいので、示せます。

(4)
領域Kで原点からの距離が最小になる点を求める問題です。
図形的に理解すると、(2)のQから垂線を下ろした点で最小であることがわかります。あとは内積0が使えるので、解けます。
完答しましょう。

 

第4問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率と積分の融合問題です。

(1)
問題文を理解すれば、余事象を取るのは教科書レベルと言えるので、解けます。

(2)
自然数に関する証明なので、数学的帰納法で行くのはいいと思います。
部分積分を実行すると、番号が1つ増えるような問題は、Focus Goldあたりには何問か載っています。そのような問題が頭にあれば、かなり見通しがいいかと思います。
あとは(1)をヒントに確率の話をすれば示せます。
ただ、計算も含め、簡単ではないかなあ、とは思います。難易度Cのゆえんなのだと思います。

(3)
本問も形を見て(2)の結論を使うのだろう、と考えるのが大切です。
そして、f(k+1)は、本大問の確率の問題のメカニズムを理解すると、1/2なので、それも使うと解けます。
(2)を証明できなくても、本問を解くことは可能ですが、上記のように、本大問の確率のメカニズムを理解できたかどうかが、なかなか大変だったかと思います。

 

名古屋大学医学部・理系数学の勉強法と傾向と対策

 名古屋大学医学部・理系の数学は、大問4問、試験時間150分です。

 2024年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBCBCでした。難易度C問題を完答できる人は、東大理系や名大医学部合格者でも少ないので、B問題の完答、C問題のBレベルの部分点、という方針で、医学部でも合格点を超えます。2024年は、大問1,3を完答。大問2も完答近く、大問4(2)の途中あたりで、医学部でも十分合格点を超えたでしょう。非医学部なら、さらに、それなりの失点が許されたでしょう。
 以上は、Focus Gold(非医学部なら黄チャートあたりでも良さそう)を網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

 

名古屋大学医学部・理系数学のオススメ参考書

 一番の基礎は教科書です。教科書には定義、問題以前の説明、基本問題が一番しっかり載っています。まずは、教科書を理解し、本文の問題(章末除く)を全問解けるようにしましょう。
 次に、Focus Gold(非医学部なら黄チャートでも良さそう)あたりの重要な問題を全問解けるようにします。この時、指導者がいて、適切に問題を選んでくれるといいですね。ここまでで、進研記述模試、河合全統記述模試などの標準的な記述模試では、名古屋大学医学部・理系レベルの成績になっているはずです。

 直前期に何をすべきかは人によって違います。記述模試で成績が足りている人は年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなすといいでしょう。過去問の場合、月刊『大学への数学』誌の難易度C問題は、平均的な東大理系や名大医学部合格者も完答できていない場合が多いので、難易度に気を配りながら取り組むといいと思います。
 上記のような教材をきっちりこなしきれた場合、今までこなした教材で、忘れていてできなそうな問題に✓をつけ、ひたすら復習し、弱点をつぶすのがいいと思います。

 現役生で、間に合うか間に合わないかわからない場合、とにかく、復習してマスターすることを重視して、微積分、確率などの頻出分野から優先順位をつけて、黄チャート、Focus Goldや年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)をこなすといいでしょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

2023年名古屋大学文系数学:難易度、どのくらい解ければ合格点か

 

第1問

『大学への数学』誌の難易度はB。

(1)
因数分解の問題です。教科書にも書いてある「最低次の文字について整理する」で因数分解できるので解けます。

(2)
y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点が2つになるaの値を求める問題です。
(1)の結論を使えるので、初見でも簡単ですが、Focus Goldあたりに、3次方程式の実数解がちょうど2種類になるような問題が載っています。したがって解けます。

(3)
(2)の条件でy=f(x)とy=g(x)のグラフを描く問題です。
(2)の問題の通り、1つの共有点では接している、ということです。それさえ気をつければ、後はグラフを描くだけの教科書レベルの問題とも言えるので、解けます。
完答しましょう。

 

第2問

『大学への数学』誌の難易度はB。
空間図形(ベクトルではない)の問題です。
(3)までは、中学入試、高校入試のような問題です。

(1)
線分AXの長さをpで表す問題です。
三角形の相似を使う、先述のように、中学入試、高校入試のような問題なので解けます。

(2)
三角形APXの面積をpで表す問題です。
本問も三角形の相似から辺の比を求めて使う、中学入試、高校入試のような問題なので解けます。

(3)
四面体の体積の和をpで表す問題です。
本問も(1)(2)のような方針で行ける中学入試、高校入試のような問題なので解けます。

(4)
点Pを辺AD上で動かす時、(3)の体積の最小値を求める問題です。
文系で(3)の形の最小値を求めるのは、相加相乗平均ということは、いいと思います。似たような問題はFocus Goldあたりには載っているので、解けます。
完答しましょう。ただ、中学入試、高校入試のような空間図形の問題は、大学入試の勉強では疎かになっている場合が多いでしょうから、盲点だった人もいたかもしれません。

 

第3問

『大学への数学』誌の難易度はC。
確率の問題です。

(1)
本問のメカニズムを理解すれば、簡単な分数のかけ算とたし算をするだけなので、解けます。

(2)
本問もメカニズムを理解するのはそれほど難しいとは思われず、愚直にすべての場合を書き出しても多くはないので、解けると思います。
難易度Cですが、十分完答もできると思います。

 

名古屋大学文系数学の勉強法と傾向と対策

 2023年は月刊『大学への数学』誌の難易度がBBCでした。ただし、大問3も十分完答を狙えると思います。一方で、2023年のセットで満点を取れるような人は、あまり名大文系は受けないかなあとも思います。中京圏は名大志向の人も多いので、なんとも言えませんが。いずれにせよ、理論上、満点も狙えるものの、それなりに失点しても、十分合格点を取れるでしょう。
 以上は、黄チャートあたりを網羅し、年度別『入試問題集』(数研出版)の*問題(頻出標準問題)や過去問をこなせば、十分達成できます。
 ただ、名大の確率は、状況がやや複雑な独特なものが多いので、名大の過去問を多く集めて取り組むといいと思います。他大の過去問でも名大に対応できるような問題は出題されています。

 受験生の中には、予備校や参考書で、平均的な合格者も解けないような問題に取り組みつつも、黄チャートあたりに抜けが多く、受験に成功しない人も多いので、注意しましょう。

大学受験の数学の勉強法・参考書

 

 

この記事を書いた人

大学受験塾チーム番町代表。東大卒。
指導した塾生の進学先は、東大、京大、国立医学部など。
指導した塾生の大学卒業後の進路は、医師、国家公務員総合職(キャリア官僚)、研究者など。学会(日本解剖学会、セラミックス協会など)でアカデミックな賞を受賞した人も複数おります。
40人クラスの33位での入塾から、東大模試全国14位になった塾生もいました。

大学受験塾チーム番町 市ヶ谷駅66m 東大卒の塾長が個別指導

 

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